Номер 7.7, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.7. Максат вложил 200000 тг на депозит под 10% годовых. Сколько ему нужно ждать, чтобы вложенная им сумма увеличилась до 1000000 тг?

7.7. Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, которая позволяет рассчитать итоговую сумму на вкладе с ежегодной капитализацией процентов:

$S = P \cdot (1 + r)^t$

где:

$\text{S}$ — конечная сумма (в нашем случае 1 000 000 тг),

$\text{P}$ — начальный вклад (200 000 тг),

$\text{r}$ — годовая процентная ставка в десятичном виде (10% = 0.1),

$\text{t}$ — количество лет, которое необходимо найти.

Подставим известные значения в формулу:

$1000000 = 200000 \cdot (1 + 0.1)^t$

Упростим выражение в скобках:

$1000000 = 200000 \cdot (1.1)^t$

Чтобы найти $\text{t}$, сначала разделим обе части уравнения на 200 000:

$\frac{1000000}{200000} = (1.1)^t$

$5 = (1.1)^t$

Теперь, чтобы найти показатель степени $\text{t}$, необходимо прологарифмировать обе части уравнения. Можно использовать натуральный логарифм (ln):

$\ln(5) = \ln((1.1)^t)$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, вынесем $\text{t}$ из-под знака логарифма:

$\ln(5) = t \cdot \ln(1.1)$

Отсюда выразим $\text{t}$:

$t = \frac{\ln(5)}{\ln(1.1)}$

Вычислим приближенные значения логарифмов:

$\ln(5) \approx 1.6094$

$\ln(1.1) \approx 0.0953$

$t \approx \frac{1.6094}{0.0953} \approx 16.89$ лет

Поскольку проценты по вкладу начисляются один раз в конце года, сумма достигнет или превысит 1 000 000 тг только по истечении целого числа лет. Результат $t \approx 16.89$ лет означает, что 16-ти лет будет недостаточно.

Проверим суммы на конец 16-го и 17-го годов:

Через 16 лет: $S_{16} = 200000 \cdot (1.1)^{16} \approx 918994$ тг. Эта сумма меньше 1 000 000 тг.

Через 17 лет: $S_{17} = 200000 \cdot (1.1)^{17} \approx 1010894$ тг. Эта сумма уже больше 1 000 000 тг.

Следовательно, Максату нужно ждать 17 полных лет.

Ответ: 17 лет.