Номер 7.2, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.2. Решите показательное уравнение, приведя обе его части к одному основанию:

1) $2^{3x} = 512^{\frac{1}{3x}}$;

2) $0,5^{x^2+x-2,5} = \sqrt{2}$;

3) $0,125 \cdot 4^{2x-3} = \left(\frac{\sqrt{2}}{8}\right)^{-x}$;

4) $\left(\frac{1}{0,125}\right)^x = 128$;

5) $5^{x^2+x-5} = \frac{1}{125}$;

6) $(0,5)^{x^2-9x+17,5} = \frac{8}{\sqrt{2}}$.

1) Исходное уравнение: $2^{3x} = 512^{\frac{1}{3x}}$. Приведем обе части к основанию 2. Так как $512 = 2^9$, уравнение принимает вид: $2^{3x} = (2^9)^{\frac{1}{3x}}$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упрощаем правую часть: $2^{3x} = 2^{9 \cdot \frac{1}{3x}} = 2^{\frac{3}{x}}$. Теперь, когда основания равны, можем приравнять показатели степеней: $3x = \frac{3}{x}$. Область допустимых значений переменной $\text{x}$ определяется знаменателем, поэтому $x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $\text{x}$: $3x^2 = 3$. Разделим на 3: $x^2 = 1$. Отсюда находим корни: $x = 1$ и $x = -1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x=1, x=-1$.

2) Исходное уравнение: $0.5^{x^2+x-2.5} = \sqrt{2}$. Приведем обе части к основанию 2. Знаем, что $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0.5}$. Подставим эти значения в уравнение: $(2^{-1})^{x^2+x-2.5} = 2^{0.5}$. Упростим левую часть: $2^{-(x^2+x-2.5)} = 2^{0.5}$, то есть $2^{-x^2-x+2.5} = 2^{0.5}$. Приравниваем показатели: $-x^2-x+2.5 = 0.5$. Переносим все члены в одну сторону: $-x^2-x+2 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2+x-2=0$. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1+8=9$. Корни: $x_1 = \frac{-1+\sqrt{9}}{2} = \frac{2}{2} = 1$; $x_2 = \frac{-1-\sqrt{9}}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: $x=1, x=-2$.

3) Исходное уравнение: $0.125 \cdot 4^{2x-3} = (\frac{\sqrt{2}}{8})^{-x}$. Приведем все множители к основанию 2. Имеем: $0.125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}$; $4 = 2^2$; $\sqrt{2} = 2^{0.5}$; $8 = 2^3$. Подставляем в уравнение: $2^{-3} \cdot (2^2)^{2x-3} = (\frac{2^{0.5}}{2^3})^{-x}$. Упрощаем обе части. Левая часть: $2^{-3} \cdot 2^{2(2x-3)} = 2^{-3} \cdot 2^{4x-6} = 2^{-3+4x-6} = 2^{4x-9}$. Правая часть: $(2^{0.5-3})^{-x} = (2^{-2.5})^{-x} = 2^{2.5x}$. Получаем уравнение: $2^{4x-9} = 2^{2.5x}$. Приравниваем показатели: $4x-9 = 2.5x$. Решаем линейное уравнение: $4x - 2.5x = 9$, то есть $1.5x = 9$. Отсюда $x = \frac{9}{1.5} = 6$.

Ответ: $x=6$.

4) Исходное уравнение: $(\frac{1}{0.125})^x = 128$. Преобразуем основание степени в левой части: $0.125 = \frac{1}{8}$, следовательно, $\frac{1}{0.125} = \frac{1}{1/8} = 8$. Уравнение принимает вид: $8^x = 128$. Теперь приведем обе части к основанию 2. Так как $8=2^3$ и $128=2^7$, получаем: $(2^3)^x = 2^7$. Упрощаем левую часть: $2^{3x} = 2^7$. Приравниваем показатели степеней: $3x=7$. Отсюда $x = \frac{7}{3}$.

Ответ: $x=\frac{7}{3}$.

5) Исходное уравнение: $5^{x^2+x-5} = \frac{1}{125}$. Приведем правую часть к основанию 5. Так как $125 = 5^3$, то $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$. Уравнение принимает вид: $5^{x^2+x-5} = 5^{-3}$. Так как основания равны, приравниваем показатели: $x^2+x-5 = -3$. Переносим -3 в левую часть: $x^2+x-2=0$. Это то же квадратное уравнение, что и в задаче 2. Его корни $x=1$ и $x=-2$.

Ответ: $x=1, x=-2$.

6) Исходное уравнение: $(0.5)^{x^2-9x+17.5} = \frac{8}{\sqrt{2}}$. Приведем обе части к основанию 2. Левая часть: $0.5 = 2^{-1}$. Правая часть: $\frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{2^3}{2^{0.5}} = 2^{3-0.5} = 2^{2.5}$. Уравнение переписывается в виде $(2^{-1})^{x^2-9x+17.5} = 2^{2.5}$. Упрощаем левую часть: $2^{-(x^2-9x+17.5)} = 2^{2.5}$, то есть $2^{-x^2+9x-17.5} = 2^{2.5}$. Приравниваем показатели: $-x^2+9x-17.5 = 2.5$. Переносим все в одну сторону: $-x^2+9x-20=0$. Умножим на -1: $x^2-9x+20=0$. Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 20. Это числа 4 и 5. Таким образом, $x_1=4$, $x_2=5$.

Ответ: $x=4, x=5$.