Номер 6.151, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.151. Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = \ln x$, прямой $x = e$ и осью абсцисс. Найдите ее площадь.

Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = \ln x$, прямой $x = e$ и осью абсцисс.

Криволинейная трапеция — это фигура на плоскости, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

В нашей задаче даны:

• график функции $y = \ln x$
• прямая $x = e$
• ось абсцисс ($y = 0$)

Из этих условий мы имеем верхнюю границу ($y = \ln x$), нижнюю границу ($y=0$) и правую границу ($x=e$). Левую границу $x=a$ найдем как точку пересечения графика функции $y = \ln x$ с осью абсцисс.

Решим уравнение $\ln x = 0$. По определению натурального логарифма, $x = e^0 = 1$.

Таким образом, криволинейная трапеция ограничена линиями $y = \ln x$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = e$.

Для изображения:

1. Нарисуйте оси координат $Ox$ и $Oy$.
2. Постройте график функции $y = \ln x$. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(1, 0)$ и определенная для $x > 0$.
3. Отметьте на оси $Ox$ точки $x=1$ и $x=e$ (где $e \approx 2.718$).
4. Проведите вертикальную прямую $x=e$. Она пересечет график $y = \ln x$ в точке $(e, \ln e) = (e, 1)$.
5. Заштрихуйте область, заключенную между кривой $y = \ln x$, отрезком оси $Ox$ от 1 до $\text{e}$ и отрезком прямой $x=e$ от 0 до 1. Эта заштрихованная область и есть искомая криволинейная трапеция.

Найдите ее площадь.

Площадь $\text{S}$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_a^b f(x) \,dx$

В нашем случае $f(x) = \ln x$, $a=1$, $b=e$. $S = \int_1^e \ln x \,dx$

Для вычисления этого интеграла найдем первообразную для функции $\ln x$ с помощью интегрирования по частям: $\int u \,dv = uv - \int v \,du$.

Пусть $u = \ln x$ и $dv = dx$. Тогда $du = \frac{1}{x} dx$ и $v = x$. $\int \ln x \,dx = x \cdot \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \,dx = x \ln x - \int 1 \,dx = x \ln x - x + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_1^e \ln x \,dx = [x \ln x - x] \Big|_1^e = (e \ln e - e) - (1 \cdot \ln 1 - 1)$

Учитывая, что $\ln e = 1$ и $\ln 1 = 0$: $S = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 0 - (-1) = 1$

Площадь криволинейной трапеции равна 1.

Ответ: $\text{1}$.