Номер 6.148, страница 41, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.148. Проведите исследование функции $y = x\log_2 x$ и постройте ее график.

Проведем исследование функции $y = x\log_2x$ по стандартному плану.

1. Область определения функции.

Функция определена для всех $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть положительным. Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции.

Область определения $D(y) = (0; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью $Oy$: $x=0$ не входит в область определения, следовательно, пересечения с осью $Oy$ нет.

Пересечение с осью $Ox$: $y=0 \Rightarrow x\log_2x = 0$. Так как $x > 0$, то $\log_2x=0$, откуда $x=1$. Точка пересечения с осью $Ox$ - $(1; 0)$.

Ответ: $(1; 0)$.

4. Асимптоты графика функции.

Вертикальные асимптоты: Исследуем поведение функции на границе области определения, то есть при $x \to 0^+$.

$\lim_{x\to 0^+} x\log_2x = \lim_{x\to 0^+} \frac{\log_2x}{1/x}$. Это неопределенность вида $\frac{-\infty}{+\infty}$. Применим правило Лопиталя, используя $\log_2x = \frac{\ln x}{\ln 2}$.

$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x / \ln 2}{1/x} = \frac{1}{\ln 2}\lim_{x\to 0^+} \frac{(\ln x)'}{(1/x)'} = \frac{1}{\ln 2}\lim_{x\to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \frac{1}{\ln 2}\lim_{x\to 0^+} (-x) = 0$.

Вертикальных асимптот нет. График начинается в точке $(0;0)$ (точка выколота).

Наклонные и горизонтальные асимптоты: $k = \lim_{x\to +\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x\log_2x}{x} = \lim_{x\to +\infty} \log_2x = +\infty$. Так как предел бесконечен, наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Ответ: Асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную функции: $y' = (x\log_2x)' = (x)'\log_2x + x(\log_2x)' = \log_2x + x \cdot \frac{1}{x\ln 2} = \log_2x + \frac{1}{\ln 2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0 \Rightarrow \log_2x + \frac{1}{\ln 2} = 0$.

$\frac{\ln x}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 0 \Rightarrow \ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

Определим знаки производной на интервалах $(0; 1/e)$ и $(1/e; +\infty)$.

При $x \in (0; 1/e)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

При $x \in (1/e; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

Точка $x = 1/e$ является точкой минимума.

Значение функции в точке минимума: $y_{min} = y(1/e) = \frac{1}{e}\log_2(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}(-\log_2e) = -\frac{1}{e}\frac{\ln e}{\ln 2} = -\frac{1}{e\ln 2}$.

Приблизительные значения: $x_{min} = 1/e \approx 0.37$, $y_{min} = -1/(e\ln 2) \approx -0.53$.

Ответ: Функция убывает на $(0; 1/e]$, возрастает на $[1/e; +\infty)$. Точка минимума $(1/e; -1/(e\ln 2))$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (\log_2x + \frac{1}{\ln 2})' = (\log_2x)' = \frac{1}{x\ln 2}$.

Так как в области определения $x > 0$ и $\ln 2 > 0$, то $y'' > 0$ для всех $x \in D(y)$.

Это означает, что график функции на всей области определения является выпуклым вниз (вогнутым).

Ответ: Функция выпукла вниз на всей области определения $(0; +\infty)$, точек перегиба нет.

7. Построение графика.

Обобщим результаты исследования:

1. Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.

2. График начинается из точки $(0;0)$ (точка выколота).

3. Точка пересечения с осью $Ox$: $(1; 0)$.

4. Асимптот нет.

5. Функция убывает на $(0; 1/e]$ и возрастает на $[1/e; +\infty)$.

6. Точка минимума: $(1/e; -1/(e\ln 2)) \approx (0.37; -0.53)$.

7. Функция выпукла вниз (вогнута) на всей области определения.

Контрольные точки для построения: $(0.5; -0.5)$, $(1; 0)$, $(2; 2)$, $(4; 8)$.

Ответ: График функции представляет собой кривую, начинающуюся в начале координат (точка $(0;0)$ выколота), убывающую до точки минимума $(1/e; -1/(e\ln 2))$, после чего возрастающую, проходя через точку $(1;0)$, и уходящую в бесконечность. На всем протяжении график обращен выпуклостью вниз.