Номер 6.141, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.141. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{\ln x - 1}{\ln x + 1}$;

2) $y = \log_2 \sin 3x$;

3) $y = \ln \tan 2x$.

1) Для нахождения производной функции $y = \frac{\ln x - 1}{\ln x + 1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае пусть $u = \ln x - 1$ и $v = \ln x + 1$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u' = (\ln x - 1)' = (\ln x)' - (1)' = \frac{1}{x} - 0 = \frac{1}{x}$.

$v' = (\ln x + 1)' = (\ln x)' + (1)' = \frac{1}{x} + 0 = \frac{1}{x}$.

Подставим полученные выражения в формулу производной частного:

$y' = \frac{(\frac{1}{x})(\ln x + 1) - (\ln x - 1)(\frac{1}{x})}{(\ln x + 1)^2}$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{x}$ в числителе за скобки:

$y' = \frac{\frac{1}{x}[(\ln x + 1) - (\ln x - 1)]}{(\ln x + 1)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$y' = \frac{\frac{1}{x}(\ln x + 1 - \ln x + 1)}{(\ln x + 1)^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot 2}{(\ln x + 1)^2}$.

В итоге получаем:

$y' = \frac{2}{x(\ln x + 1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{x(\ln x + 1)^2}$.

2) Для функции $y = \log_2(\sin(3x))$ применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Формула производной логарифма с произвольным основанием: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.

Здесь основание $a=2$, а внутренняя функция $u = \sin(3x)$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u'$:

$u' = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

Теперь подставим $\text{u}$ и $u'$ в основную формулу производной:

$y' = \frac{3\cos(3x)}{\sin(3x) \cdot \ln 2}$.

Используя тригонометрическое тождество $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$, можем упростить выражение:

$y' = \frac{3\cot(3x)}{\ln 2}$.

Ответ: $y' = \frac{3\cot(3x)}{\ln 2}$.

3) Для функции $y = \ln(\tan(2x))$ (в задании используется распространенное сокращение $y = \operatorname{lntg}2x$) также используем цепное правило. Производная натурального логарифма сложной функции: $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.

Внутренняя функция $u = \tan(2x)$.

Найдем производную $u'$:

$u' = (\tan(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Подставим $\text{u}$ и $u'$ в формулу производной натурального логарифма:

$y' = \frac{\frac{2}{\cos^2(2x)}}{\tan(2x)}$.

Заменим $\tan(2x)$ на $\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$ и упростим:

$y' = \frac{2}{\cos^2(2x)} \cdot \frac{1}{\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}} = \frac{2}{\cos^2(2x)} \cdot \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$.

Сократим $\cos(2x)$ в числителе и знаменателе:

$y' = \frac{2}{\sin(2x)\cos(2x)}$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае, если $\alpha=2x$, то $2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(2 \cdot 2x) = \sin(4x)$.

Подставив это в наше выражение, получаем:

$y' = \frac{2}{\sin(4x)}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{\sin(4x)}$.