Номер 6.146, страница 40, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.146. Найдите интеграл с помощью метода замены переменной:

1) $\int \frac{\ln x}{x} dx;$

2) $\int \frac{2\ln^2 x + 2}{x} dx;$

3) $\int \operatorname{tg} x dx;$

4) $\int \frac{x}{x^2 - 4} dx;$

5) $\int \frac{\cos x}{\sin x - 4} dx.$

1)

Для нахождения интеграла $ \int \frac{\ln x}{x} dx $ воспользуемся методом замены переменной. Заметим, что производная функции $ \ln x $ равна $ \frac{1}{x} $, которая присутствует в подынтегральном выражении.

Пусть $ t = \ln x $.

Тогда найдем дифференциал $ dt $: $ dt = d(\ln x) = (\ln x)' dx = \frac{1}{x} dx $.

Подставим новую переменную $ t $ и ее дифференциал $ dt $ в исходный интеграл:

$ \int \frac{\ln x}{x} dx = \int \ln x \cdot \frac{1}{x} dx = \int t dt $.

Это табличный интеграл от степенной функции:

$ \int t dt = \frac{t^{1+1}}{1+1} + C = \frac{t^2}{2} + C $, где $ C $ — произвольная постоянная.

Теперь выполним обратную замену, подставив $ \ln x $ вместо $ t $:

$ \frac{t^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C = \frac{\ln^2 x}{2} + C $.

Ответ: $ \frac{\ln^2 x}{2} + C $.

2)

Рассмотрим интеграл $ \int \frac{2\ln^2 x + 2}{x} dx $. Вынесем константу 2 за скобки в числителе: $ \int \frac{2(\ln^2 x + 1)}{x} dx $.

Как и в предыдущем примере, используем замену $ t = \ln x $. Тогда $ dt = \frac{1}{x} dx $.

Подставляем замену в интеграл:

$ \int 2(\ln^2 x + 1) \cdot \frac{1}{x} dx = \int 2(t^2 + 1) dt $.

Интегрируем полученное выражение:

$ \int (2t^2 + 2) dt = 2\int t^2 dt + 2\int dt = 2 \cdot \frac{t^3}{3} + 2t + C = \frac{2}{3}t^3 + 2t + C $, где $ C $ — произвольная постоянная.

Выполняем обратную замену $ t = \ln x $:

$ \frac{2}{3}(\ln x)^3 + 2\ln x + C = \frac{2}{3}\ln^3 x + 2\ln x + C $.

Ответ: $ \frac{2}{3}\ln^3 x + 2\ln x + C $.

3)

Для нахождения интеграла $ \int \tg x dx $ представим тангенс как отношение синуса к косинусу:

$ \int \tg x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx $.

Применим метод замены переменной. Пусть $ t = \cos x $.

Найдем дифференциал $ dt $: $ dt = (\cos x)' dx = -\sin x dx $.

Отсюда выразим $ \sin x dx = -dt $.

Подставим замену в интеграл:

$ \int \frac{1}{\cos x} (\sin x dx) = \int \frac{1}{t} (-dt) = -\int \frac{dt}{t} $.

Интеграл от $ \frac{1}{t} $ является табличным:

$ -\int \frac{dt}{t} = -\ln|t| + C $, где $ C $ — произвольная постоянная.

Произведем обратную замену, подставляя $ \cos x $ вместо $ t $:

$ -\ln|\cos x| + C $.

Ответ: $ -\ln|\cos x| + C $.

4)

Рассмотрим интеграл $ \int \frac{x}{x^2 - 4} dx $.

Заметим, что числитель $ x $ является, с точностью до константы, производной знаменателя $ x^2 - 4 $. Производная $ (x^2-4)' = 2x $.

Сделаем замену переменной, взяв за новую переменную знаменатель. Пусть $ t = x^2 - 4 $.

Тогда дифференциал $ dt = (x^2 - 4)' dx = 2x dx $.

Из этого выражения получим $ x dx = \frac{dt}{2} $.

Подставим замену в интеграл:

$ \int \frac{1}{x^2 - 4} (x dx) = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} $.

Это табличный интеграл:

$ \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \ln|t| + C $, где $ C $ — произвольная постоянная.

Выполним обратную замену, подставив $ x^2 - 4 $ вместо $ t $:

$ \frac{1}{2} \ln|x^2 - 4| + C $.

Ответ: $ \frac{1}{2}\ln|x^2 - 4| + C $.

5)

Найдем интеграл $ \int \frac{\cos x}{\sin x - 4} dx $.

Производная знаменателя $ (\sin x - 4)' = \cos x $, что в точности совпадает с числителем. Это идеальный случай для замены.

Пусть $ t = \sin x - 4 $.

Тогда дифференциал $ dt = (\sin x - 4)' dx = \cos x dx $.

Подставим $ t $ и $ dt $ в наш интеграл:

$ \int \frac{1}{\sin x - 4} (\cos x dx) = \int \frac{1}{t} dt $.

Это известный табличный интеграл:

$ \int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C $, где $ C $ — произвольная постоянная.

Выполним обратную замену $ t = \sin x - 4 $:

$ \ln|\sin x - 4| + C $.

Ответ: $ \ln|\sin x - 4| + C $.