Номер 6.142, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.142. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и касающейся кривой $y = \ln x$.

Искомая прямая проходит через начало координат, поэтому ее уравнение имеет вид $y = kx$, где $\text{k}$ — угловой коэффициент.

Пусть $(x_0, y_0)$ — точка касания этой прямой с кривой $y = \ln(x)$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = \ln(x)$ имеем:

1. Значение функции в точке касания: $f(x_0) = \ln(x_0)$.

2. Производная функции: $f'(x) = (\ln(x))' = \frac{1}{x}$.

3. Значение производной в точке касания (это и есть угловой коэффициент $\text{k}$): $f'(x_0) = \frac{1}{x_0}$.

Подставим эти значения в общее уравнение касательной: $y = \ln(x_0) + \frac{1}{x_0}(x - x_0)$.

По условию задачи, эта прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Подставим $x = 0$ и $y = 0$ в уравнение касательной, чтобы найти $x_0$: $0 = \ln(x_0) + \frac{1}{x_0}(0 - x_0)$ $0 = \ln(x_0) - \frac{x_0}{x_0}$ $0 = \ln(x_0) - 1$

Отсюда $\ln(x_0) = 1$, что означает $x_0 = e$.

Теперь, зная $x_0$, мы можем найти угловой коэффициент $\text{k}$ искомой прямой: $k = f'(x_0) = \frac{1}{x_0} = \frac{1}{e}$.

Итак, уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{e}$, имеет вид: $y = \frac{1}{e}x$.

Ответ: $y = \frac{1}{e}x$.