Номер 6.135, страница 39, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.135. Вычислите интеграл:

1) $\int \frac{dx}{2x-1};$

2) $\int \frac{dx}{5x-1};$

3) $\int \frac{x-3}{x-1}dx;$

4) $\int \frac{1}{x(x+1)}dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int \frac{dx}{2x - 1}$ воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 2x - 1$. Тогда дифференциал $dt$ равен $d(2x - 1) = (2x - 1)'_x dx = 2dx$. Отсюда выразим $dx = \frac{1}{2}dt$. Подставим новую переменную в интеграл:

$\int \frac{dx}{2x - 1} = \int \frac{\frac{1}{2}dt}{t} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t}$

Это табличный интеграл, который равен натуральному логарифму:

$\frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2} \ln|t| + C$

Теперь вернемся к исходной переменной $\text{x}$, подставив $t = 2x - 1$:

$\frac{1}{2} \ln|2x - 1| + C$

где $\text{C}$ - произвольная постоянная.

Ответ: $\frac{1}{2}\ln|2x - 1| + C$

2) Интеграл $\int \frac{dx}{5x - 1}$ вычисляется аналогично предыдущему. Сделаем замену переменной: $t = 5x - 1$. Найдем дифференциал: $dt = 5dx$, откуда $dx = \frac{1}{5}dt$.

Подставляем в интеграл:

$\int \frac{dx}{5x - 1} = \int \frac{\frac{1}{5}dt}{t} = \frac{1}{5} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{5} \ln|t| + C$

Выполняем обратную замену $t = 5x - 1$:

$\frac{1}{5} \ln|5x - 1| + C$

Ответ: $\frac{1}{5}\ln|5x - 1| + C$

3) Для вычисления интеграла $\int \frac{x - 3}{x - 1}dx$ преобразуем подынтегральную дробь. Выделим целую часть, представив числитель в виде $x - 3 = (x - 1) - 2$.

$\frac{x - 3}{x - 1} = \frac{(x - 1) - 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$

Теперь интеграл можно разбить на два более простых:

$\int (1 - \frac{2}{x - 1})dx = \int 1 dx - \int \frac{2}{x - 1}dx = \int dx - 2\int \frac{dx}{x - 1}$

Вычисляем каждый интеграл:

$\int dx = x$

$\int \frac{dx}{x - 1} = \ln|x - 1|$

Собираем все вместе:

$x - 2\ln|x - 1| + C$

Ответ: $x - 2\ln|x - 1| + C$

4) Для вычисления интеграла $\int \frac{1}{x(x + 1)}dx$ используем метод разложения на простейшие дроби. Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух дробей:

$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{A(x + 1) + Bx}{x(x + 1)}$

Приравниваем числители:

$1 = A(x + 1) + Bx$

Это тождество верно для любого $\text{x}$. Для нахождения коэффициентов $\text{A}$ и $\text{B}$ подставим удобные значения $\text{x}$.

При $x = 0$: $1 = A(0 + 1) + B \cdot 0 \implies 1 = A$

При $x = -1$: $1 = A(-1 + 1) + B(-1) \implies 1 = -B \implies B = -1$

Таким образом, разложение имеет вид:

$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1})dx = \int \frac{dx}{x} - \int \frac{dx}{x + 1} = \ln|x| - \ln|x + 1| + C$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$, результат можно записать как:

$\ln\left|\frac{x}{x + 1}\right| + C$

Ответ: $\ln|x| - \ln|x + 1| + C$ (или $\ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + C$)