Номер 6.133, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.133. Найдите производную функции $y = \log_3 2x$.

A) $\frac{1}{2x}$;

B) $\frac{1}{x \ln 3}$;

C) $\frac{1}{2x \ln 3}$;

D) $\frac{2}{x \ln 3}$;

E) $\frac{2}{x}$.

Для того чтобы найти производную функции $y = \log_3(2x)$, можно использовать два способа: применить правило дифференцирования сложной функции или предварительно использовать свойства логарифмов.

Способ 1: Использование правила дифференцирования сложной функции

Исходная функция $y = \log_3(2x)$ является сложной. Внешняя функция — это логарифм $f(u) = \log_3(u)$, а внутренняя — $u(x) = 2x$.

Производная сложной функции находится по цепному правилу: $(f(u(x)))' = f'(u(x)) \cdot u'(x)$.

1. Найдём производную внешней логарифмической функции. Используем формулу $(\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a}$. В нашем случае $a=3$:

$f'(u) = (\log_3 u)' = \frac{1}{u \ln 3}$.

2. Найдём производную внутренней функции $u(x) = 2x$:

$u'(x) = (2x)' = 2$.

3. Теперь, согласно цепному правилу, перемножим производную внешней функции (в которую вместо $\text{u}$ подставлено $2x$) на производную внутренней функции:

$y' = \frac{1}{2x \ln 3} \cdot 2$.

4. Упростим полученное выражение, сократив на 2 в числителе и знаменателе:

$y' = \frac{2}{2x \ln 3} = \frac{1}{x \ln 3}$.

Способ 2: Использование свойств логарифмов

Сначала преобразуем исходную функцию, используя свойство логарифма произведения: $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$.

$y = \log_3(2x) = \log_3(2) + \log_3(x)$.

Теперь найдём производную полученной суммы. Производная суммы равна сумме производных:

$y' = (\log_3(2) + \log_3(x))' = (\log_3(2))' + (\log_3(x))'$.

1. Выражение $\log_3(2)$ — это константа (постоянное число), поэтому её производная равна нулю: $(\log_3(2))' = 0$.

2. Производная второго слагаемого $\log_3(x)$ находится по стандартной формуле $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$:

$(\log_3(x))' = \frac{1}{x \ln 3}$.

3. Сложим полученные результаты:

$y' = 0 + \frac{1}{x \ln 3} = \frac{1}{x \ln 3}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая полученный ответ с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту B).

Ответ: $\frac{1}{x \ln 3}$