Номер 6.128, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.128*. Найдите интеграл с помощью метода интегрирования по частям:

1) $\int e^x \cdot \cos x dx$;

2) $\int e^x \cdot \sin x dx$.

1) Для нахождения интеграла $I = \int e^x \cos x dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям, формула которого: $\int u dv = uv - \int v du$.

Выберем в качестве $\text{u}$ и $dv$ следующие части подынтегрального выражения: $u = \cos x$, $dv = e^x dx$.

Тогда найдем $du$ и $\text{v}$: $du = (\cos x)' dx = -\sin x dx$, $v = \int e^x dx = e^x$.

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

$I = \int e^x \cos x dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$.

Полученный интеграл $\int e^x \sin x dx$ также будем находить методом интегрирования по частям. Важно сохранить последовательность в выборе $\text{u}$ и $dv$. Пусть:

$u_1 = \sin x$, $dv_1 = e^x dx$.

Тогда:

$du_1 = (\sin x)' dx = \cos x dx$, $v_1 = \int e^x dx = e^x$.

Применяем формулу:

$\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$.

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение для $\text{I}$:

$I = e^x \cos x + (e^x \sin x - \int e^x \cos x dx)$.

Мы видим, что интеграл в правой части уравнения совпадает с исходным интегралом $\text{I}$. Получаем алгебраическое уравнение относительно $\text{I}$:

$I = e^x \cos x + e^x \sin x - I$.

Перенесем $\text{I}$ из правой части в левую и решим уравнение:

$2I = e^x (\cos x + \sin x)$.

$I = \frac{e^x (\sin x + \cos x)}{2}$.

Добавляя константу интегрирования $\text{C}$, получаем окончательный результат.

Ответ: $\frac{e^x (\sin x + \cos x)}{2} + C$.

2) Для нахождения интеграла $J = \int e^x \sin x dx$ применим метод интегрирования по частям: $\int u dv = uv - \int v du$.

Пусть $u = \sin x$ и $dv = e^x dx$.

Тогда $du = (\sin x)' dx = \cos x dx$ и $v = \int e^x dx = e^x$.

Применяя формулу, получаем:

$J = \int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$.

Для вычисления оставшегося интеграла $\int e^x \cos x dx$ снова используем интегрирование по частям. Пусть:

$u_1 = \cos x$, $dv_1 = e^x dx$.

Тогда:

$du_1 = (\cos x)' dx = -\sin x dx$, $v_1 = \int e^x dx = e^x$.

Следовательно:

$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$.

Подставим результат в выражение для $\text{J}$:

$J = e^x \sin x - (e^x \cos x + \int e^x \sin x dx)$.

Интеграл в правой части является исходным интегралом $\text{J}$. Получаем уравнение:

$J = e^x \sin x - e^x \cos x - J$.

Решаем это уравнение относительно $\text{J}$:

$2J = e^x (\sin x - \cos x)$.

$J = \frac{e^x (\sin x - \cos x)}{2}$.

Добавляя константу интегрирования $\text{C}$, получаем окончательный результат.

Ответ: $\frac{e^x (\sin x - \cos x)}{2} + C$.