Номер 6.129, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.129. Найдите сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 11.

Все трехзначные числа, которые делятся на 11, образуют арифметическую прогрессию. Чтобы найти их сумму, нам нужно определить первый член этой прогрессии, последний член и их общее количество.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$). Это самое маленькое трехзначное число, которое делится на 11. Трехзначные числа начинаются со 100. Разделим 100 на 11:

$100 \div 11 = 9$ (остаток 1). Это значит, что $11 \times 9 = 99$ (двузначное число).

Следующее число, кратное 11, будет $11 \times 10 = 110$. Это первое трехзначное число, делящееся на 11. Итак, $a_1 = 110$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$). Это самое большое трехзначное число, которое делится на 11. Трехзначные числа заканчиваются на 999. Разделим 999 на 11:

$999 \div 11 = 90$ (остаток 9). Это значит, что $11 \times 90 = 990$ является наибольшим трехзначным числом, кратным 11. Итак, $a_n = 990$.

3. Разность этой арифметической прогрессии ($\text{d}$) равна 11, так как мы рассматриваем числа, кратные 11.

4. Теперь найдем количество членов в этой прогрессии ($\text{n}$). Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения:

$990 = 110 + (n-1) \cdot 11$

$990 - 110 = (n-1) \cdot 11$

$880 = (n-1) \cdot 11$

$n-1 = \frac{880}{11}$

$n-1 = 80$

$n = 81$

Таким образом, существует 81 трехзначное число, делящееся на 11.

5. Наконец, найдем сумму этих чисел ($S_n$) по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим наши значения:

$S_{81} = \frac{110 + 990}{2} \cdot 81$

$S_{81} = \frac{1100}{2} \cdot 81$

$S_{81} = 550 \cdot 81$

$S_{81} = 44550$

Ответ: 44550