Номер 6.125, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.125. Найдите производные указанных порядков для функции:

1) $y = e^{\frac{x}{2}}\sin(2x), y^{\text{IV}} - ?$

2) $y = e^{-x}(\cos(2x) - 3\sin(2x)), y''' - ?$

1) Дана функция $y = e^{\frac{x}{2}}\sin{2x}$. Требуется найти производную четвертого порядка $y^{IV}$.

Для упрощения вычислений воспользуемся формулой Эйлера $e^{i\phi} = \cos\phi + i\sin\phi$, из которой следует, что $\sin\phi = \text{Im}(e^{i\phi})$, где $\text{Im}$ — мнимая часть комплексного числа.

Представим нашу функцию в комплексном виде: $y = e^{\frac{x}{2}}\sin(2x) = e^{\frac{x}{2}}\text{Im}(e^{i2x}) = \text{Im}(e^{\frac{x}{2}}e^{i2x}) = \text{Im}(e^{(\frac{1}{2} + 2i)x})$.

Пусть $z(x) = e^{(\frac{1}{2} + 2i)x}$. Тогда $y(x) = \text{Im}(z(x))$. Нахождение производной от $z(x)$ выполняется по стандартному правилу $(e^{kx})' = ke^{kx}$. Четвертая производная от $z(x)$ будет равна: $z^{(4)}(x) = (\frac{1}{2} + 2i)^4 e^{(\frac{1}{2} + 2i)x}$.

Вычислим комплексное число $(\frac{1}{2} + 2i)^4$. Сначала найдем квадрат этого числа: $(\frac{1}{2} + 2i)^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2i + (2i)^2 = \frac{1}{4} + 2i - 4 = -\frac{15}{4} + 2i$.

Теперь возведем результат в квадрат, чтобы получить четвертую степень: $(-\frac{15}{4} + 2i)^2 = (-\frac{15}{4})^2 - 2 \cdot \frac{15}{4} \cdot 2i + (2i)^2 = \frac{225}{16} - 15i - 4 = (\frac{225}{16} - \frac{64}{16}) - 15i = \frac{161}{16} - 15i$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $z^{(4)}(x)$: $z^{(4)}(x) = (\frac{161}{16} - 15i)e^{(\frac{1}{2} + 2i)x} = (\frac{161}{16} - 15i)e^{\frac{x}{2}}(\cos(2x) + i\sin(2x))$.

Раскроем скобки, чтобы найти мнимую часть: $z^{(4)}(x) = e^{\frac{x}{2}} \left[ \frac{161}{16}\cos(2x) + i\frac{161}{16}\sin(2x) - 15i\cos(2x) - 15i^2\sin(2x) \right]$ $z^{(4)}(x) = e^{\frac{x}{2}} \left[ (\frac{161}{16}\cos(2x) + 15\sin(2x)) + i(\frac{161}{16}\sin(2x) - 15\cos(2x)) \right]$.

Искомая производная $y^{IV}$ равна мнимой части этого выражения: $y^{IV}(x) = \text{Im}(z^{(4)}(x)) = e^{\frac{x}{2}}\left(\frac{161}{16}\sin(2x) - 15\cos(2x)\right)$.

Ответ: $y^{IV} = e^{\frac{x}{2}}(\frac{161}{16}\sin{2x} - 15\cos{2x})$.

2) Дана функция $y = e^{-x}(\cos{2x} - 3\sin{2x})$. Требуется найти производную третьего порядка $y'''$.

Будем последовательно находить производные, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Первая производная ($y'$): $y' = (e^{-x})'(\cos{2x} - 3\sin{2x}) + e^{-x}(\cos{2x} - 3\sin{2x})'$ $y' = -e^{-x}(\cos{2x} - 3\sin{2x}) + e^{-x}(-2\sin{2x} - 3 \cdot 2\cos{2x})$ $y' = e^{-x}(-\cos{2x} + 3\sin{2x} - 2\sin{2x} - 6\cos{2x})$ $y' = e^{-x}(-7\cos{2x} + \sin{2x})$.

Вторая производная ($y''$): $y'' = (e^{-x})'(-7\cos{2x} + \sin{2x}) + e^{-x}(-7\cos{2x} + \sin{2x})'$ $y'' = -e^{-x}(-7\cos{2x} + \sin{2x}) + e^{-x}(-7(-2\sin{2x}) + 2\cos{2x})$ $y'' = e^{-x}(7\cos{2x} - \sin{2x} + 14\sin{2x} + 2\cos{2x})$ $y'' = e^{-x}(9\cos{2x} + 13\sin{2x})$.

Третья производная ($y'''$): $y''' = (e^{-x})'(9\cos{2x} + 13\sin{2x}) + e^{-x}(9\cos{2x} + 13\sin{2x})'$ $y''' = -e^{-x}(9\cos{2x} + 13\sin{2x}) + e^{-x}(9(-2\sin{2x}) + 13(2\cos{2x}))$ $y''' = e^{-x}(-9\cos{2x} - 13\sin{2x} - 18\sin{2x} + 26\cos{2x})$ $y''' = e^{-x}((-9 + 26)\cos{2x} + (-13 - 18)\sin{2x})$ $y''' = e^{-x}(17\cos{2x} - 31\sin{2x})$.

Ответ: $y''' = e^{-x}(17\cos{2x} - 31\sin{2x})$.