Номер 6.131, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.131. Докажите тождество

$\frac{1 + 2 \cos t \sin t}{\sin^2 t - \cos^2 t} = \frac{\operatorname{tg} t + 1}{\operatorname{tg} t - 1}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.

В числителе $1 + 2 \sin t \cos t$ заменим $\text{1}$ на $ \sin^2 t + \cos^2 t $ согласно основному тригонометрическому тождеству. Затем используем формулу квадрата суммы $ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $:

$ 1 + 2 \sin t \cos t = \sin^2 t + \cos^2 t + 2 \sin t \cos t = (\sin t + \cos t)^2 $.

В знаменателе $ \sin^2 t - \cos^2 t $ применим формулу разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:

$ \sin^2 t - \cos^2 t = (\sin t - \cos t)(\sin t + \cos t) $.

Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества и сократим дробь (при условии, что $ \sin t + \cos t \neq 0 $):

$$ \frac{1 + 2 \cos t \sin t}{\sin^2 t - \cos^2 t} = \frac{(\sin t + \cos t)^2}{(\sin t - \cos t)(\sin t + \cos t)} = \frac{\sin t + \cos t}{\sin t - \cos t} $$

Для получения правой части тождества, разделим числитель и знаменатель полученной дроби на $ \cos t $ (при условии, что $ \cos t \neq 0 $, что также является условием существования $ \tan t $):

$$ \frac{\frac{\sin t}{\cos t} + \frac{\cos t}{\cos t}}{\frac{\sin t}{\cos t} - \frac{\cos t}{\cos t}} $$

Используя определение $ \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} $, получаем выражение, идентичное правой части исходного равенства:

$$ \frac{\tan t + 1}{\tan t - 1} $$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Это доказывает справедливость тождества для всех допустимых значений $\text{t}$.

Ответ: Тождество доказано.