Номер 6.126, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.126. С помощью метода замены переменной найдите интеграл $\int x^2 e^{x^3} dx$.

Для нахождения данного интеграла $ \int x^2 e^{x^3} dx $ используется метод замены переменной (или метод подстановки).

1. Выбор замены. Заметим, что производная выражения в показателе степени экспоненты, $ (x^3)' = 3x^2 $, отличается от другого множителя $x^2$ только постоянным коэффициентом. Это делает замену $ t = x^3 $ удобной.

2. Нахождение дифференциала. Найдем дифференциал от новой переменной $\text{t}$:

$ dt = (x^3)' dx = 3x^2 dx $

3. Выражение старого дифференциала. Из полученного соотношения выразим часть исходного подынтегрального выражения $ x^2 dx $:

$ x^2 dx = \frac{1}{3} dt $

4. Подстановка в интеграл. Теперь подставим новую переменную $\text{t}$ и новое выражение для дифференциала в исходный интеграл:

$ \int x^2 e^{x^3} dx = \int e^{x^3} (x^2 dx) = \int e^t \left(\frac{1}{3} dt\right) $

5. Решение нового интеграла. Вынесем константу $ \frac{1}{3} $ за знак интеграла и найдем получившийся табличный интеграл:

$ \frac{1}{3} \int e^t dt = \frac{1}{3} e^t + C $

где $\text{C}$ — произвольная постоянная интегрирования.

6. Обратная замена. Вернемся к исходной переменной $\text{x}$, подставив $ x^3 $ обратно вместо $\text{t}$:

$ \frac{1}{3} e^{x^3} + C $

Таким образом, мы нашли первообразную для исходной функции.

Ответ: $ \frac{1}{3} e^{x^3} + C $