Номер 6.119, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.119. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало ко-ординат и касающейся кривой $y = e^{-x}$.

Пусть искомая прямая является касательной к кривой $y = e^{-x}$ в точке с абсциссой $x_0$. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $f(x) = e^{-x}$ имеем:

• Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = e^{-x_0}$.
• Производная функции: $f'(x) = (e^{-x})' = -e^{-x}$.
• Значение производной в точке $x_0$: $f'(x_0) = -e^{-x_0}$.

Подставив эти значения в общее уравнение касательной, получим: $y = e^{-x_0} + (-e^{-x_0})(x - x_0)$ $y = e^{-x_0} - x \cdot e^{-x_0} + x_0 \cdot e^{-x_0}$

По условию задачи, прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Это означает, что при подстановке $x=0$ и $y=0$ в уравнение прямой, мы должны получить верное равенство. $0 = e^{-x_0} - 0 \cdot e^{-x_0} + x_0 \cdot e^{-x_0}$ $0 = e^{-x_0} + x_0 \cdot e^{-x_0}$ $0 = e^{-x_0}(1 + x_0)$

Поскольку множитель $e^{-x_0}$ всегда положителен ($e^{-x_0} > 0$ для любого $x_0$), то равенство возможно только если второй множитель равен нулю: $1 + x_0 = 0$ $x_0 = -1$

Теперь, когда мы нашли абсциссу точки касания, мы можем найти уравнение касательной. Для этого подставим $x_0 = -1$ в уравнение касательной, которое мы вывели ранее: $y = e^{-(-1)} - x \cdot e^{-(-1)} + (-1) \cdot e^{-(-1)}$ $y = e^1 - x \cdot e^1 - 1 \cdot e^1$ $y = e - ex - e$ $y = -ex$

Другой способ — найти угловой коэффициент $\text{k}$ и использовать уравнение прямой $y=kx$, так как она проходит через начало координат. $k = f'(x_0) = -e^{-x_0} = -e^{-(-1)} = -e$. Следовательно, уравнение прямой: $y = -ex$.

Ответ: $y = -ex$