Номер 6.117, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.117. Напишите уравнение прямой, касающейся графика функции $y = e^x$ и параллельной прямой $y = ex + 1$.

Найдём уравнение прямой, которая касается графика функции $y = e^x$ и параллельна прямой $y = ex + 1$.

Условие параллельности двух прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Уравнение прямой $y = ex + 1$ представлено в виде $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = e$. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также должен быть равен $\text{e}$.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Заданная функция: $f(x) = e^x$. Ее производная: $f'(x) = (e^x)' = e^x$.

Чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$, приравняем значение производной в этой точке к требуемому угловому коэффициенту $\text{e}$: $f'(x_0) = e$ $e^{x_0} = e$ Поскольку $e = e^1$, получаем: $e^{x_0} = e^1$ Отсюда следует, что абсцисса точки касания $x_0 = 1$.

Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 1$ в уравнение исходной функции: $y_0 = f(x_0) = e^{x_0} = e^1 = e$. Таким образом, точка касания имеет координаты $(1; e)$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ с угловым коэффициентом $\text{k}$, имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставим в это уравнение координаты точки касания $(1; e)$ и угловой коэффициент $k=e$: $y - e = e(x - 1)$

Раскроем скобки и выразим $\text{y}$: $y - e = ex - e$ $y = ex - e + e$ $y = ex$

Ответ: $y = ex$.