Номер 6.115, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.115. Дана функция $f(x)= e^x + \sin x$. Найдите для нее первообразную, график которой проходит через точку $M(0; \sqrt{2})$.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = e^x + \sin x$ необходимо найти такую функцию $F(x)$, производная которой $F'(x)$ равна $f(x)$.

Общий вид первообразной находится путем интегрирования данной функции. Используя правило интегрирования суммы, получаем:

$F(x) = \int (e^x + \sin x) dx = \int e^x dx + \int \sin x dx$

По таблице интегралов, первообразная для $e^x$ есть $e^x$, а для $\sin x$ есть $-\cos x$. Следовательно, общий вид первообразной для $f(x)$ имеет вид:

$F(x) = e^x - \cos x + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $M(0; \sqrt{2})$. Это означает, что при $x = 0$ значение функции $F(x)$ равно $\sqrt{2}$, то есть $F(0) = \sqrt{2}$.

Подставим эти значения в выражение для $F(x)$, чтобы найти константу $\text{C}$:

$F(0) = e^0 - \cos(0) + C = \sqrt{2}$

Так как $e^0 = 1$ и $\cos(0) = 1$, получаем следующее уравнение:

$1 - 1 + C = \sqrt{2}$

$0 + C = \sqrt{2}$

$C = \sqrt{2}$

Теперь, когда мы нашли значение константы, подставляем его в общее выражение для первообразной и получаем искомую функцию:

$F(x) = e^x - \cos x + \sqrt{2}$

Ответ: $F(x) = e^x - \cos x + \sqrt{2}$