Номер 6.121, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.121. Напишите уравнение касательной к кривой $y = 1 - e^{\frac{x}{2}}$ в точке пересечения кривой с осью $\text{Oy}$. Постройте график кривой.

Напишите уравнение касательной к кривой $y = 1 - e^{\frac{x}{2}}$ в точке пересечения кривой с осью Оу.

1. Сначала найдем точку пересечения кривой с осью ординат ($Oy$). Уравнение оси $Oy$ — это $x=0$. Чтобы найти координату $y_0$ точки касания, подставим $x_0=0$ в уравнение кривой:

$y_0 = 1 - e^{\frac{0}{2}} = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, точка пересечения кривой с осью $Oy$, которая является точкой касания, имеет координаты $(x_0, y_0) = (0, 0)$.

2. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ задается формулой:

$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$,

где $f'(x_0)$ — это значение производной функции в точке $x_0$.

3. Найдем производную функции $f(x) = 1 - e^{\frac{x}{2}}$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - e^{\frac{x}{2}}) = 0 - e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = -e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}$.

4. Теперь вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $\text{k}$:

$k = f'(0) = -\frac{1}{2}e^{\frac{0}{2}} = -\frac{1}{2}e^0 = -\frac{1}{2}$.

5. Подставим найденные значения $x_0=0$, $y_0=0$ и $f'(0)=-\frac{1}{2}$ в общее уравнение касательной:

$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 0)$

В результате получаем уравнение касательной:

$y = -\frac{1}{2}x$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$.

Постройте график кривой.

Для построения графика кривой $y = 1 - e^{\frac{x}{2}}$ проведем исследование функции.

1. Область определения. Функция определена для всех действительных значений $\text{x}$, так как показательная функция определена на всей числовой прямой. Таким образом, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

- Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0$. Точка $(0, 0)$.

- Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = 1 - e^{\frac{x}{2}} \implies e^{\frac{x}{2}} = 1 \implies \frac{x}{2} = 0 \implies x=0$. Точка $(0, 0)$.

График проходит через начало координат, и это единственная точка пересечения с осями.

3. Асимптоты.

- Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на $(-\infty, +\infty)$.

- Горизонтальные асимптоты. Исследуем поведение функции при $x \to \pm\infty$:

При $x \to -\infty$, показатель степени $\frac{x}{2} \to -\infty$, поэтому $e^{\frac{x}{2}} \to 0$. Следовательно, $y \to 1 - 0 = 1$. Прямая $y=1$ является левосторонней горизонтальной асимптотой.

При $x \to +\infty$, показатель степени $\frac{x}{2} \to +\infty$, поэтому $e^{\frac{x}{2}} \to +\infty$. Следовательно, $y = 1 - e^{\frac{x}{2}} \to -\infty$. Правосторонней горизонтальной асимптоты нет.

4. Интервалы монотонности и экстремумы.

Первая производная: $y' = -\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}$.

Поскольку $e^{\frac{x}{2}} > 0$ для всех $\text{x}$, то $y' < 0$ на всей области определения. Это означает, что функция является строго убывающей на $(-\infty, +\infty)$. Экстремумов у функции нет.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Вторая производная: $y'' = \frac{d}{dx}(-\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}) = -\frac{1}{4}e^{\frac{x}{2}}$.

Поскольку $e^{\frac{x}{2}} > 0$ для всех $\text{x}$, то $y'' < 0$ на всей области определения. Это означает, что график функции является выпуклым вверх (вогнутым) на $(-\infty, +\infty)$. Точек перегиба нет.

6. Построение графика.

На основе анализа строим эскиз графика. Кривая асимптотически приближается к прямой $y=1$ при $x \to -\infty$. Затем она проходит через начало координат $(0, 0)$, где ее наклон равен $-\frac{1}{2}$, и продолжает убывать до $-\infty$ при $x \to +\infty$. На всем протяжении график расположен ниже асимптоты $y=1$ и является вогнутым.

Ответ: График функции $y=1-e^{\frac{x}{2}}$ — это кривая, которая имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to -\infty$. Она пересекает оси координат в начале координат $(0, 0)$. Функция монотонно убывает и вогнута на всей числовой прямой. В точке $(0,0)$ касательная к графику задается уравнением $y = -0.5x$.