Номер 6.122, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.122. Найдите производную второго порядка функции:

1) $y = e^x + e^{-x}$;

2) $y = (x + 1)e^{2x}$;

3) $y = (x^2 - 2x - 3)e^{x-3}$.

1) Дана функция $y = e^x + e^{-x}$.

Производная второго порядка — это производная от первой производной. Сначала найдем первую производную $y'$:

$y' = (e^x + e^{-x})' = (e^x)' + (e^{-x})'$

Используя правило дифференцирования экспоненциальной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$, получаем:

$y' = e^x + e^{-x} \cdot (-x)' = e^x - e^{-x}$.

Теперь найдем вторую производную $y''$, продифференцировав $y'$:

$y'' = (e^x - e^{-x})' = (e^x)' - (e^{-x})' = e^x - (e^{-x} \cdot (-1)) = e^x + e^{-x}$.

Ответ: $y'' = e^x + e^{-x}$.

2) Дана функция $y = (x + 1)e^{2x}$.

Для нахождения первой производной $y'$ используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x + 1$ и $v = e^{2x}$. Тогда $u' = 1$ и $v' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$.

$y' = (x + 1)'e^{2x} + (x + 1)(e^{2x})' = 1 \cdot e^{2x} + (x + 1) \cdot 2e^{2x}$.

Вынесем $e^{2x}$ за скобки и упростим:

$y' = e^{2x}(1 + 2(x + 1)) = e^{2x}(1 + 2x + 2) = (2x + 3)e^{2x}$.

Теперь найдем вторую производную $y''$, снова применив правило произведения к $y'$.

Пусть $u = 2x + 3$ и $v = e^{2x}$. Тогда $u' = 2$ и $v' = 2e^{2x}$.

$y'' = (2x + 3)'e^{2x} + (2x + 3)(e^{2x})' = 2 \cdot e^{2x} + (2x + 3) \cdot 2e^{2x}$.

Вынесем $2e^{2x}$ за скобки и упростим:

$y'' = 2e^{2x}(1 + (2x + 3)) = 2e^{2x}(2x + 4) = 4(x + 2)e^{2x}$.

Ответ: $y'' = 4(x + 2)e^{2x}$.

3) Дана функция $y = (x^2 - 2x - 3)e^{x-3}$.

Найдем первую производную $y'$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^2 - 2x - 3$ и $v = e^{x-3}$. Тогда $u' = 2x - 2$ и $v' = e^{x-3} \cdot (x-3)' = e^{x-3}$.

$y' = (x^2 - 2x - 3)'e^{x-3} + (x^2 - 2x - 3)(e^{x-3})' = (2x - 2)e^{x-3} + (x^2 - 2x - 3)e^{x-3}$.

Вынесем $e^{x-3}$ за скобки и упростим:

$y' = e^{x-3}((2x - 2) + (x^2 - 2x - 3)) = e^{x-3}(x^2 - 5)$.

Теперь найдем вторую производную $y''$, снова применив правило произведения к $y'$.

Пусть $u = x^2 - 5$ и $v = e^{x-3}$. Тогда $u' = 2x$ и $v' = e^{x-3}$.

$y'' = (x^2 - 5)'e^{x-3} + (x^2 - 5)(e^{x-3})' = 2x \cdot e^{x-3} + (x^2 - 5)e^{x-3}$.

Вынесем $e^{x-3}$ за скобки и упростим:

$y'' = e^{x-3}(2x + x^2 - 5) = (x^2 + 2x - 5)e^{x-3}$.

Ответ: $y'' = (x^2 + 2x - 5)e^{x-3}$.