Номер 6.118, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.118. Напишите уравнение прямой, касающейся графика функции $y = e^x$ и перпендикулярной прямой $y = -2x$.

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: найти угловой коэффициент искомой прямой, определить точку касания и, наконец, составить уравнение прямой.

1. Нахождение углового коэффициента касательной.

Уравнение прямой, которой должна быть перпендикулярна касательная, имеет вид $y = -2x$. Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = -2$.

Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно $-1$. Пусть $\text{k}$ - угловой коэффициент искомой касательной. Тогда должно выполняться равенство: $k \cdot k_1 = -1$

$k \cdot (-2) = -1$

$k = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен $\frac{1}{2}$.

2. Нахождение точки касания.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = e^x$. Найдем ее производную: $f'(x) = (e^x)' = e^x$

Мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен $\frac{1}{2}$. Приравняем значение производной к этому числу, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$: $f'(x_0) = e^{x_0} = \frac{1}{2}$

Чтобы найти $x_0$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\text{e}$: $\ln(e^{x_0}) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

$x_0 = \ln(1) - \ln(2) = 0 - \ln(2) = -\ln(2)$

Теперь найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0$ в исходную функцию $y = e^x$: $y_0 = e^{x_0} = e^{-\ln(2)} = (e^{\ln(2)})^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Следовательно, точка касания имеет координаты $\left(-\ln(2), \frac{1}{2}\right)$.

3. Составление уравнения касательной.

Общее уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $\text{k}$, имеет вид: $y - y_0 = k(x - x_0)$

Подставим найденные значения: $k = \frac{1}{2}$, $x_0 = -\ln(2)$, $y_0 = \frac{1}{2}$. $y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(x - (-\ln(2)))$

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(x + \ln(2))$

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\ln(2)$

Выразим $\text{y}$: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\ln(2) + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1 + \ln(2)}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1 + \ln(2)}{2}$