Номер 6.112, страница 35, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.112. Вычислите определенный интеграл:

1) $\int_0^1 (5e^x + x^3 - 4)dx;$

2) $\int_0^1 (e^x + x)dx;$

3) $\int_0^1 e^{2x}dx;$

4) $\int_0^8 e^{\frac{x}{3}}dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 5e^x + x^3 - 4$. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных:

$F(x) = \int (5e^x + x^3 - 4) dx = 5\int e^x dx + \int x^3 dx - \int 4 dx = 5e^x + \frac{x^{3+1}}{3+1} - 4x = 5e^x + \frac{x^4}{4} - 4x$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{1} (5e^x + x^3 - 4) dx = \left(5e^x + \frac{x^4}{4} - 4x\right) \Big|_0^1 = \left(5e^1 + \frac{1^4}{4} - 4 \cdot 1\right) - \left(5e^0 + \frac{0^4}{4} - 4 \cdot 0\right) = \left(5e + \frac{1}{4} - 4\right) - (5 \cdot 1 + 0 - 0) = 5e - \frac{15}{4} - 5 = 5e - \frac{15}{4} - \frac{20}{4} = 5e - \frac{35}{4}$.

Ответ: $5e - \frac{35}{4}$.

2) Найдем первообразную для функции $f(x) = e^x + x$:

$F(x) = \int (e^x + x) dx = \int e^x dx + \int x dx = e^x + \frac{x^2}{2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами от 0 до 1:

$\int_{0}^{1} (e^x + x) dx = \left(e^x + \frac{x^2}{2}\right) \Big|_0^1 = \left(e^1 + \frac{1^2}{2}\right) - \left(e^0 + \frac{0^2}{2}\right) = \left(e + \frac{1}{2}\right) - (1 + 0) = e - \frac{1}{2}$.

Ответ: $e - \frac{1}{2}$.

3) Найдем первообразную для функции $f(x) = e^{2x}$. Используем правило интегрирования сложной функции $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx}$:

$F(x) = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{0}^{1} e^{2x} dx = \left(\frac{1}{2}e^{2x}\right) \Big|_0^1 = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^0 = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{e^2 - 1}{2}$.

Ответ: $\frac{e^2 - 1}{2}$.

4) Найдем первообразную для функции $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$. Здесь $k = \frac{1}{3}$:

$F(x) = \int e^{\frac{x}{3}} dx = \frac{1}{1/3}e^{\frac{x}{3}} = 3e^{\frac{x}{3}}$.

Вычислим определенный интеграл с пределами от 0 до 3:

$\int_{0}^{3} e^{\frac{x}{3}} dx = \left(3e^{\frac{x}{3}}\right) \Big|_0^3 = 3e^{\frac{3}{3}} - 3e^{\frac{0}{3}} = 3e^1 - 3e^0 = 3e - 3 \cdot 1 = 3(e-1)$.

Ответ: $3(e-1)$.