Номер 6.107, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.107. Найдите производную функции:

1) $y = e^{8x}$;

2) $y = e^{2+5x}$;

3) $y = a^{1-x}$;

4) $y = 3^{1-2x}$.

1) Для нахождения производной функции $y = e^{8x}$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя $g(x) = u(x) = 8x$.

Производная внешней функции: $(e^u)' = e^u$.

Производная внутренней функции: $(8x)' = 8$.

Применяя правило, получаем:

$y' = (e^{8x})' = e^{8x} \cdot (8x)' = e^{8x} \cdot 8 = 8e^{8x}$.

Ответ: $y' = 8e^{8x}$.

2) Функция $y = e^{x^2 + 5x}$ также является сложной. Будем использовать то же правило дифференцирования.

Здесь внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя $g(x) = u(x) = x^2 + 5x$.

Производная внешней функции: $(e^u)' = e^u$.

Производная внутренней функции: $(x^2 + 5x)' = (x^2)' + (5x)' = 2x + 5$.

Следовательно, производная исходной функции:

$y' = (e^{x^2 + 5x})' = e^{x^2 + 5x} \cdot (x^2 + 5x)' = e^{x^2 + 5x} \cdot (2x + 5) = (2x + 5)e^{x^2 + 5x}$.

Ответ: $y' = (2x + 5)e^{x^2 + 5x}$.

3) Для нахождения производной показательной функции $y = a^{1-x}$ применяется правило $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.

В этой функции основание равно $\text{a}$, а показатель (внутренняя функция) $u(x) = 1-x$.

Производная внутренней функции: $u'(x) = (1-x)' = -1$.

Подставляя в формулу, находим производную:

$y' = (a^{1-x})' = a^{1-x} \cdot \ln a \cdot (1-x)' = a^{1-x} \cdot \ln a \cdot (-1) = -a^{1-x}\ln a$.

Ответ: $y' = -a^{1-x}\ln a$.

4) Функция $y = 3^{1-2x}$ является частным случаем показательной функции. Применим то же правило, что и в пункте 3: $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$.

Здесь основание $a=3$, а внутренняя функция $u(x) = 1-2x$.

Производная внутренней функции: $u'(x) = (1-2x)' = -2$.

Теперь найдем производную исходной функции:

$y' = (3^{1-2x})' = 3^{1-2x} \cdot \ln 3 \cdot (1-2x)' = 3^{1-2x} \cdot \ln 3 \cdot (-2) = -2 \cdot 3^{1-2x}\ln 3$.

Ответ: $y' = -2 \cdot 3^{1-2x}\ln 3$.