Номер 6.104, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.104. Решите уравнение:

1) $\frac{6x}{x+3} + 2 = \frac{x+3}{x}$;

2) $\frac{x}{x-1} + \frac{x}{x-9} = 1$.

1) Исходное уравнение: $\frac{6x}{x+3}+2=\frac{x+3}{x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x+3 \ne 0$ и $x \ne 0$. Отсюда $x \ne -3$ и $x \ne 0$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{6x \cdot x}{x(x+3)} + \frac{2 \cdot x(x+3)}{x(x+3)} = \frac{(x+3)(x+3)}{x(x+3)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+3)$, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ), и получим уравнение-следствие:

$6x^2 + 2x(x+3) = (x+3)^2$

Раскроем скобки:

$6x^2 + 2x^2 + 6x = x^2 + 6x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$8x^2 + 6x = x^2 + 6x + 9$

Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:

$8x^2 - x^2 + 6x - 6x - 9 = 0$

$7x^2 - 9 = 0$

$7x^2 = 9$

$x^2 = \frac{9}{7}$

Найдем корни уравнения:

$x = \pm\sqrt{\frac{9}{7}} = \pm\frac{3}{\sqrt{7}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$x = \pm\frac{3\sqrt{7}}{7}$

Оба корня, $x_1 = \frac{3\sqrt{7}}{7}$ и $x_2 = -\frac{3\sqrt{7}}{7}$, не равны $\text{0}$ и $-3$, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ и являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm\frac{3\sqrt{7}}{7}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{x}{x-1}+\frac{x}{x-9}=1$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $x-1 \ne 0$ и $x-9 \ne 0$. Отсюда $x \ne 1$ и $x \ne 9$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-1)(x-9)$:

$\frac{x(x-9)}{(x-1)(x-9)} + \frac{x(x-1)}{(x-1)(x-9)} = 1$

$\frac{x(x-9) + x(x-1)}{(x-1)(x-9)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $(x-1)(x-9)$, так как по ОДЗ он не равен нулю:

$x(x-9) + x(x-1) = (x-1)(x-9)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 - 9x + x^2 - x = x^2 - 9x - x + 9$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях:

$2x^2 - 10x = x^2 - 10x + 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 10x + 10x - 9 = 0$

$x^2 - 9 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, которое можно разложить на множители по формуле разности квадратов:

$(x-3)(x+3) = 0$

Отсюда находим корни:

$x-3=0 \Rightarrow x_1 = 3$

$x+3=0 \Rightarrow x_2 = -3$

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ. Оба корня $\text{3}$ и $-3$ не равны $\text{1}$ и $\text{9}$, значит, они являются решениями уравнения.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3$.