Вопросы, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулу нахождения производной показательной функции.

2. Напишите формулу вычисления интеграла от показательной функции.

3. Докажите равенство $\lim_{x \to 0} \frac{\log_a (1+x)}{x} = \log_a e$.

4. Докажите равенство $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$.

1. Производная показательной функции $y = a^x$, где $\text{a}$ – основание степени ($a > 0$, $a \neq 1$), находится по формуле:

$(a^x)' = a^x \ln a$

где $\ln a$ – натуральный логарифм числа $\text{a}$.

В частном случае, для функции $y = e^x$, производная равна самой функции:

$(e^x)' = e^x \ln e = e^x$.

Ответ: $(a^x)' = a^x \ln a$.

2. Формула для вычисления неопределенного интеграла от показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0$, $a \neq 1$) имеет вид:

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

где $\ln a$ – натуральный логарифм основания $\text{a}$, а $\text{C}$ – произвольная постоянная интегрирования.

Для основания $\text{e}$, формула упрощается:

$\int e^x dx = e^x + C$.

Ответ: $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

3. Для доказательства равенства $\lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a e$ преобразуем выражение под знаком предела, используя свойство логарифма $n \log_b m = \log_b (m^n)$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} \log_a(1+x)\right) = \lim_{x \to 0} \log_a\left((1+x)^{1/x}\right)$

Так как логарифмическая функция является непрерывной, можно внести знак предела под знак логарифма:

$\log_a\left(\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x}\right)$

Предел, стоящий в скобках, является вторым замечательным пределом, и его значение равно числу Эйлера $\text{e}$:

$\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$

Подставляя значение предела, получаем:

$\log_a(e)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

4. Докажем равенство $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$.

Это предел вида $\frac{0}{0}$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = a^x - 1$.

Тогда $a^x = y + 1$. Прологарифмируем обе части по основанию $\text{a}$:

$\log_a(a^x) = \log_a(y+1)$

$x = \log_a(y+1)$

Определим, к чему стремится новая переменная $\text{y}$. Если $x \to 0$, то $y = a^x - 1 \to a^0 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Теперь подставим все в исходный предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\log_a(1+y)}$

Перевернем дробь:

$\lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\log_a(1+y)}{y}} = \frac{1}{\lim_{y \to 0} \frac{\log_a(1+y)}{y}}$

Предел в знаменателе нам известен из предыдущего задания: $\lim_{y \to 0} \frac{\log_a(1+y)}{y} = \log_a e$.

Следовательно, наше выражение равно:

$\frac{1}{\log_a e}$

Используя свойство логарифма $\log_b c = \frac{1}{\log_c b}$ (или формулу перехода к новому основанию $\log_a e = \frac{\ln e}{\ln a} = \frac{1}{\ln a}$), получаем:

$\frac{1}{\log_a e} = \log_e a = \ln a$

Таким образом, мы доказали, что $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$.

Ответ: Равенство доказано.