Номер 6.106, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.106. Известно, что $tgx = 3$. Найдите значения следующих выражений:

1) $\frac{3 \sin x - 4 \cos x}{5 \cos x - \sin x}$;

2) $\frac{2 \sin x - 3 \cos x}{4 \sin x + 5 \cos x}$.

1)

Для того чтобы найти значение выражения $ \frac{3\sin x - 4\cos x}{5\cos x - \sin x} $, воспользуемся данным условием $ \tg x = 3 $.

По определению, $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $. Так как значение тангенса дано, это означает, что $ \cos x \neq 0 $. Поэтому мы можем разделить и числитель, и знаменатель дроби на $ \cos x $, не изменяя значения выражения.

$ \frac{3\sin x - 4\cos x}{5\cos x - \sin x} = \frac{\frac{3\sin x - 4\cos x}{\cos x}}{\frac{5\cos x - \sin x}{\cos x}} = \frac{3\frac{\sin x}{\cos x} - 4\frac{\cos x}{\cos x}}{5\frac{\cos x}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x}} $

Теперь заменим отношение $ \frac{\sin x}{\cos x} $ на $ \tg x $:

$ \frac{3\tg x - 4}{5 - \tg x} $

Подставим известное значение $ \tg x = 3 $ в полученное выражение:

$ \frac{3 \cdot 3 - 4}{5 - 3} = \frac{9 - 4}{2} = \frac{5}{2} $

Ответ: $ \frac{5}{2} $

2)

Рассмотрим второе выражение: $ \frac{2\sin x - 3\cos x}{4\sin x + 5\cos x} $.

Действуем аналогично первому пункту. Разделим числитель и знаменатель на $ \cos x $:

$ \frac{2\sin x - 3\cos x}{4\sin x + 5\cos x} = \frac{\frac{2\sin x - 3\cos x}{\cos x}}{\frac{4\sin x + 5\cos x}{\cos x}} = \frac{2\frac{\sin x}{\cos x} - 3\frac{\cos x}{\cos x}}{4\frac{\sin x}{\cos x} + 5\frac{\cos x}{\cos x}} $

Заменяем $ \frac{\sin x}{\cos x} $ на $ \tg x $:

$ \frac{2\tg x - 3}{4\tg x + 5} $

Подставляем значение $ \tg x = 3 $:

$ \frac{2 \cdot 3 - 3}{4 \cdot 3 + 5} = \frac{6 - 3}{12 + 5} = \frac{3}{17} $

Ответ: $ \frac{3}{17} $