Номер 6.101, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.101*. Пусть $a^2 + b^2 = 11ab$ и $a \cdot b \neq 0$. Докажите справедливость равенства

$\log_2 \frac{|a-b|}{3} = \frac{1}{2} (\log_2 |a| + \log_2 |b|)$

Для доказательства справедливости равенства преобразуем данное в условии алгебраическое выражение $a^2 + b^2 = 11ab$. Мы хотим связать его с выражением $|a-b|$, которое находится под знаком логарифма в доказываемом равенстве. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Подставим в эту формулу $a^2 + b^2 = 11ab$:

$(a-b)^2 = 11ab - 2ab = 9ab$

Так как левая часть уравнения, $(a-b)^2$, является квадратом числа, она всегда неотрицательна, т.е. $(a-b)^2 \ge 0$. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $9ab \ge 0$, что означает $ab \ge 0$. По условию задачи $a \cdot b \neq 0$, значит, мы можем сделать вывод, что $ab > 0$. Это означает, что числа $\text{a}$ и $\text{b}$ имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей равенства $(a-b)^2 = 9ab$:

$\sqrt{(a-b)^2} = \sqrt{9ab}$

$|a-b| = 3\sqrt{ab}$

Разделим обе части на 3 (поскольку $3 \neq 0$):

$\frac{|a-b|}{3} = \sqrt{ab}$

Теперь мы можем преобразовать левую часть доказываемого равенства (обозначим ее ЛЧ):

ЛЧ $= \log_2 \frac{|a-b|}{3} = \log_2(\sqrt{ab})$

Используя свойство логарифма степени ($\log_c(x^p) = p \log_c(x)$), получаем:

ЛЧ $= \log_2((ab)^{1/2}) = \frac{1}{2}\log_2(ab)$

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства (обозначим ее ПЧ):

ПЧ $= \frac{1}{2} |\log_2 |a| + \log_2 |b||$

Используя свойство суммы логарифмов ($\log_c x + \log_c y = \log_c(xy)$), получаем:

ПЧ $= \frac{1}{2} |\log_2(|a| \cdot |b|)| = \frac{1}{2} |\log_2|ab||$

Так как мы ранее установили, что $ab > 0$, то $|ab| = ab$. Следовательно:

ПЧ $= \frac{1}{2} |\log_2(ab)|$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части. Исходное равенство справедливо тогда и только тогда, когда:

$\frac{1}{2}\log_2(ab) = \frac{1}{2}|\log_2(ab)|$

Умножив на 2, получим:

$\log_2(ab) = |\log_2(ab)|$

Равенство вида $X = |X|$ истинно только в том случае, когда $X \ge 0$. В нашем случае это означает, что должно выполняться условие:

$\log_2(ab) \ge 0$

Это неравенство эквивалентно следующему:

$ab \ge 2^0$

$ab \ge 1$

Таким образом, исходное равенство справедливо только при выполнении дополнительного условия $ab \ge 1$. Однако, исходное условие $a^2 + b^2 = 11ab$ не гарантирует, что $ab \ge 1$. Например, если $a = \frac{11+\sqrt{117}}{20}$ и $b = \frac{1}{10}$, то условие $a^2 + b^2 = 11ab$ будет выполняться, но их произведение $ab = \frac{11+\sqrt{117}}{200} \approx \frac{11+10.8}{200} = \frac{21.8}{200} = 0.109$, что меньше 1. В этом случае $\log_2(ab) < 0$, и левая часть доказываемого равенства будет отрицательной, а правая — положительной, то есть равенство не будет выполняться.

Следовательно, в исходной формулировке задача содержит ошибку. Равенство не является справедливым для всех $\text{a}$ и $\text{b}$, удовлетворяющих условию. Оно справедливо только при дополнительном предположении, что $ab \ge 1$. Если же предположить, что в задаче опечатка и равенство должно было выглядеть как $|\log_2 \frac{|a-b|}{3}| = \frac{1}{2} |\log_2 |a| + \log_2 |b||$ или $\log_2^2 \frac{|a-b|}{3} = \frac{1}{4}(\log_2 |a| + \log_2 |b|)^2$, то доказательство становится корректным для всех $\text{a}$ и $\text{b}$.

Проведя преобразования, мы доказали, что исходное равенство эквивалентно равенству $\log_2(ab) = |\log_2(ab)|$, что и требовалось для демонстрации его справедливости (с оговоркой о необходимом условии $ab \ge 1$).

Ответ: Равенство справедливо при условии $ab \ge 1$, которое не следует из начальных условий, что указывает на возможную неточность в условии задачи. Преобразования показывают, что левая часть равна $\frac{1}{2}\log_2(ab)$, а правая равна $\frac{1}{2}|\log_2(ab)|$, и их равенство достигается только тогда, когда $\log_2(ab) \ge 0$.