Номер 6.103, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.103*. Пусть $m^2 = a^2 - b^2$. Упростите выражение

$\log_{a+b} m + \log_{a-b} m - 2\log_{a+b} m \cdot \log_{a-b} m$

Начнем с анализа данного условия: $m^2 = a^2 - b^2$. Используя формулу разности квадратов, перепишем его в виде: $m^2 = (a-b)(a+b)$.

Для дальнейшего решения необходимо, чтобы все логарифмические выражения были определены. Это означает, что основания логарифмов $a+b$ и $a-b$ должны быть больше 0 и не равны 1, а аргумент $\text{m}$ должен быть больше 0.

Рассмотрим два возможных случая для значения $\text{m}$.

Случай 1: $m = 1$.

Если $m=1$, то условие $m^2 = (a-b)(a+b)$ принимает вид $1 = (a-b)(a+b)$.

Подставим $m=1$ в исходное выражение, которое нужно упростить:

$\log_{a+b} 1 + \log_{a-b} 1 - 2\log_{a+b} 1 \cdot \log_{a-b} 1$

Поскольку логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю (т.е. $\log_k 1 = 0$ для $k>0, k \neq 1$), выражение становится равным:

$0 + 0 - 2 \cdot 0 \cdot 0 = 0$

Случай 2: $m \neq 1$ (при $m>0$).

Возьмем равенство $m^2 = (a+b)(a-b)$ и прологарифмируем обе его части по основанию $\text{m}$.

$\log_m(m^2) = \log_m((a+b)(a-b))$

Используя свойства логарифмов ($\log_k(k^p) = p$ и $\log_k(xy) = \log_k x + \log_k y$), получаем:

$2 = \log_m(a+b) + \log_m(a-b)$

Теперь обратимся к выражению, которое нужно упростить: $\log_{a+b} m + \log_{a-b} m - 2\log_{a+b} m \cdot \log_{a-b} m$.

Воспользуемся формулой перехода к другому основанию, в частности свойством $\log_p k = \frac{1}{\log_k p}$, которое позволяет поменять местами основание и аргумент логарифма.

Тогда $\log_m(a+b) = \frac{1}{\log_{a+b} m}$ и $\log_m(a-b) = \frac{1}{\log_{a-b} m}$.

Подставим это в полученное нами ранее равенство $2 = \log_m(a+b) + \log_m(a-b)$:

$2 = \frac{1}{\log_{a+b} m} + \frac{1}{\log_{a-b} m}$

Для удобства введем замены: пусть $X = \log_{a+b} m$ и $Y = \log_{a-b} m$.

Тогда равенство выше запишется как $2 = \frac{1}{X} + \frac{1}{Y}$, а выражение для упрощения — как $X + Y - 2XY$.

Из равенства $2 = \frac{1}{X} + \frac{1}{Y}$ выразим сумму $X+Y$. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$2 = \frac{Y+X}{XY}$

Отсюда следует, что $X+Y = 2XY$.

Наконец, подставим это соотношение в выражение, которое нужно было упростить:

$X + Y - 2XY = (X+Y) - 2XY = (2XY) - 2XY = 0$.

Таким образом, в обоих рассмотренных случаях значение исходного выражения равно 0.

Ответ: 0