Номер 6.98, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.98. Постройте график функции $y = \log_2 |x - 3|$.

Для построения графика функции $y = \log_2|x - 3|$ воспользуемся методом последовательных преобразований графика основной логарифмической функции.

1. Построение графика функции $y_1 = \log_2(x)$.

Это основная логарифмическая функция с основанием 2. Ее график обладает следующими свойствами:

• Область определения: $x > 0$.
• График проходит через точку $(1, 0)$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось Oy).
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• Контрольные точки: $(0.5, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$.

2. Построение графика функции $y_2 = \log_2|x|$.

Этот график получается из графика $y_1 = \log_2(x)$ с помощью преобразования $f(x) \rightarrow f(|x|)$.

• Так как функция $y_2 = \log_2|x|$ является четной ($y_2(-x) = \log_2|-x| = \log_2|x| = y_2(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy.
• Для построения мы сохраняем часть графика $y_1 = \log_2(x)$, где $x > 0$, и симметрично отражаем ее относительно оси Oy для получения части графика при $x < 0$.
• Область определения: $x \ne 0$.
• Вертикальная асимптота: $x=0$.
• График состоит из двух ветвей и проходит через точки $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

3. Построение графика функции $y = \log_2|x - 3|$.

Этот график получается из графика $y_2 = \log_2|x|$ путем сдвига вправо на 3 единицы. Это преобразование вида $f(x) \rightarrow f(x - a)$, где $a=3$.

• Каждая точка графика $y_2 = \log_2|x|$ смещается на 3 единицы вправо.
• Вертикальная асимптота $x=0$ смещается вправо и становится прямой $x=3$.
• Ось симметрии (ось Oy, т.е. $x=0$) также смещается вправо и становится прямой $x=3$.
• Точки пересечения с осью Ox:
  • Точка $(1, 0)$ сдвигается в точку $(1+3, 0) = (4, 0)$.
  • Точка $(-1, 0)$ сдвигается в точку $(-1+3, 0) = (2, 0)$.
• Другие контрольные точки:
  • $(2, 1)$ сдвигается в $(5, 1)$.
  • $(-2, 1)$ сдвигается в $(1, 1)$.
  • $(0.5, -1)$ сдвигается в $(3.5, -1)$.
  • $(-0.5, -1)$ сдвигается в $(2.5, -1)$.

Таким образом, мы получили искомый график. Проанализируем его свойства:

• Область определения: $|x-3|>0 \implies x \ne 3$. $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
• Вертикальная асимптота: $x=3$.
• Нули функции (пересечение с осью Ox): $y=0$ при $x=2$ и $x=4$. Точки $(2, 0)$ и $(4, 0)$.
• Симметрия: График симметричен относительно прямой $x=3$.
• Возрастание и убывание: Функция убывает на интервале $(-\infty, 3)$ и возрастает на интервале $(3, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \log_2|x - 3|$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной прямой $x=3$. Эта прямая является вертикальной асимптотой. Левая ветвь (при $x < 3$) является убывающей, правая ветвь (при $x > 3$) — возрастающей. Обе ветви уходят в отрицательную бесконечность при приближении $\text{x}$ к 3. График пересекает ось абсцисс в точках $(2, 0)$ и $(4, 0)$.