Номер 6.93, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.93. Сравните числа:

1) $\sqrt{11}$ и $9^{0.5 \log_3 (1 + \frac{1}{9}) + \frac{3}{2} \log_3 2}$;

2) $2^{\log_2 5} - 0,1$ и $5^{\log_5 2}$;

3) $\sqrt{8}$ и $2^{2 \log_2 5 + \log_{0.5} 9}$;

4) $\sqrt{15}$ и $8^{\frac{1}{3} \log_2 (1 + \frac{1}{32}) + 2 \log_{27} 3}$.

1) Сравним числа $\sqrt{11}$ и $9^{0.5\log_3(1+\frac{1}{9}) + \frac{3}{2}\log_9 2}$.

Первое число: $\sqrt{11}$.

Упростим второе число. Обозначим его $A = 9^{0.5\log_3(1+\frac{1}{9}) + \frac{3}{2}\log_9 2}$.

Преобразуем показатель степени, приведя логарифмы к основанию 9.

$0.5\log_3(1+\frac{1}{9}) = \frac{1}{2}\log_3(\frac{10}{9})$. Используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\log_9(\frac{10}{9})}{\log_9 3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\log_9(\frac{10}{9})}{1/2} = \log_9(\frac{10}{9})$.

Второе слагаемое в показателе: $\frac{3}{2}\log_9 2 = \log_9(2^{3/2})$.

Весь показатель степени равен: $\log_9(\frac{10}{9}) + \log_9(2^{3/2}) = \log_9(\frac{10}{9} \cdot 2^{3/2}) = \log_9(\frac{10}{9} \cdot 2\sqrt{2}) = \log_9(\frac{20\sqrt{2}}{9})$.

Теперь, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, находим значение второго числа:

$A = 9^{\log_9(\frac{20\sqrt{2}}{9})} = \frac{20\sqrt{2}}{9}$.

Сравним $\sqrt{11}$ и $\frac{20\sqrt{2}}{9}$. Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты.

$(\sqrt{11})^2 = 11$.

$(\frac{20\sqrt{2}}{9})^2 = \frac{20^2 \cdot (\sqrt{2})^2}{9^2} = \frac{400 \cdot 2}{81} = \frac{800}{81}$.

Сравним $11$ и $\frac{800}{81}$.

$11 = \frac{11 \cdot 81}{81} = \frac{891}{81}$.

Поскольку $891 > 800$, то $\frac{891}{81} > \frac{800}{81}$, что означает $11 > \frac{800}{81}$.

Следовательно, $\sqrt{11} > \frac{20\sqrt{2}}{9}$.

Ответ: $\sqrt{11} > 9^{0.5\log_3(1+\frac{1}{9}) + \frac{3}{2}\log_9 2}$.

2) Сравним числа $2^{\log_{0.5} 5} - 0.1$ и $5^{\log_{0.5} 2}$.

Упростим первое число. Обозначим его $A = 2^{\log_{0.5} 5} - 0.1$.

Преобразуем логарифм: $\log_{0.5} 5 = \log_{2^{-1}} 5 = -1 \cdot \log_2 5 = -\log_2 5$.

Тогда $2^{\log_{0.5} 5} = 2^{-\log_2 5} = (2^{\log_2 5})^{-1} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$.

Таким образом, первое число равно $A = 0.2 - 0.1 = 0.1$.

Упростим второе число. Обозначим его $B = 5^{\log_{0.5} 2}$.

Преобразуем логарифм: $\log_{0.5} 2 = \log_{1/2} 2 = -1$.

Тогда второе число равно $B = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$.

Теперь сравним полученные значения: $0.1$ и $0.2$.

Очевидно, что $0.1 < 0.2$.

Ответ: $2^{\log_{0.5} 5} - 0.1 < 5^{\log_{0.5} 2}$.

3) Сравним числа $\sqrt{8}$ и $2^{2\log_2 5 + \log_{0.5} 9}$.

Первое число: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Упростим второе число. Обозначим его $A = 2^{2\log_2 5 + \log_{0.5} 9}$.

Преобразуем показатель степени:

$2\log_2 5 = \log_2(5^2) = \log_2 25$.

$\log_{0.5} 9 = \log_{2^{-1}} 9 = -1 \cdot \log_2 9 = -\log_2 9 = \log_2(9^{-1}) = \log_2(\frac{1}{9})$.

Весь показатель степени равен: $\log_2 25 + \log_2(\frac{1}{9}) = \log_2(25 \cdot \frac{1}{9}) = \log_2(\frac{25}{9})$.

Теперь, используя основное логарифмическое тождество, находим значение второго числа:

$A = 2^{\log_2(\frac{25}{9})} = \frac{25}{9}$.

Сравним $\sqrt{8}$ и $\frac{25}{9}$. Так как оба числа положительны, сравним их квадраты.

$(\sqrt{8})^2 = 8$.

$(\frac{25}{9})^2 = \frac{625}{81}$.

Сравним $\text{8}$ и $\frac{625}{81}$.

$8 = \frac{8 \cdot 81}{81} = \frac{648}{81}$.

Поскольку $648 > 625$, то $\frac{648}{81} > \frac{625}{81}$, что означает $8 > \frac{625}{81}$.

Следовательно, $\sqrt{8} > \frac{25}{9}$.

Ответ: $\sqrt{8} > 2^{2\log_2 5 + \log_{0.5} 9}$.

4) Сравним числа $\sqrt{15}$ и $8^{\frac{1}{3}\log_2(1+\frac{1}{32}) + 2\log_{27} 3}$.

Первое число: $\sqrt{15}$.

Упростим второе число. Обозначим его $A = 8^{\frac{1}{3}\log_2(1+\frac{1}{32}) + 2\log_{27} 3}$.

Представим основание $\text{8}$ как $2^3$: $A = (2^3)^{\frac{1}{3}\log_2(1+\frac{1}{32}) + 2\log_{27} 3} = 2^{3 \cdot (\frac{1}{3}\log_2(1+\frac{1}{32}) + 2\log_{27} 3)}$.

$A = 2^{\log_2(1+\frac{1}{32}) + 6\log_{27} 3}$.

Упростим слагаемые в показателе степени.

$1+\frac{1}{32} = \frac{33}{32}$.

$\log_{27} 3 = \frac{1}{3}$, так как $27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Показатель степени равен: $\log_2(\frac{33}{32}) + 6 \cdot \frac{1}{3} = \log_2(\frac{33}{32}) + 2$.

Теперь подставим это в выражение для $\text{A}$:

$A = 2^{\log_2(\frac{33}{32}) + 2} = 2^{\log_2(\frac{33}{32})} \cdot 2^2 = \frac{33}{32} \cdot 4 = \frac{33}{8}$.

Сравним $\sqrt{15}$ и $\frac{33}{8}$. Так как оба числа положительны, сравним их квадраты.

$(\sqrt{15})^2 = 15$.

$(\frac{33}{8})^2 = \frac{1089}{64}$.

Сравним $15$ и $\frac{1089}{64}$.

$15 = \frac{15 \cdot 64}{64} = \frac{960}{64}$.

Поскольку $960 < 1089$, то $\frac{960}{64} < \frac{1089}{64}$, что означает $15 < (\frac{33}{8})^2$.

Следовательно, $\sqrt{15} < \frac{33}{8}$.

Ответ: $\sqrt{15} < 8^{\frac{1}{3}\log_2(1+\frac{1}{32}) + 2\log_{27} 3}$.