Номер 6.88, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.88. Равносильны ли функции $y = 2\log_2 x$ и $y = \log_2 x^2$? Обоснуйте ответ.

Для того чтобы две функции были равносильными (тождественно равными), необходимо, чтобы, во-первых, совпадали их области определения, и, во-вторых, на этой общей области определения значения функций были равны для любого значения аргумента.

Рассмотрим первую функцию $y = 2\log_2 x$. Область определения логарифмической функции задается условием, что ее аргумент должен быть строго положительным. Следовательно, для данной функции должно выполняться условие $x > 0$. Таким образом, область определения $D_1$ этой функции — это интервал $(0, +\infty)$.

Рассмотрим вторую функцию $y = \log_2 x^2$. Аргумент логарифма в этом случае равен $x^2$. Условие $x^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $\text{x}$, кроме $x = 0$. Следовательно, область определения $D_2$ этой функции — это $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Сравнивая области определения $D_1 = (0, +\infty)$ и $D_2 = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, мы видим, что они не совпадают. Область определения второй функции содержит отрицательные числа, в то время как область определения первой — нет.

Поскольку области определения функций различны, первое же условие равносильности не выполняется. Следовательно, данные функции не являются равносильными.

Важно отметить, что преобразование $\log_a x^p = p\log_a x$ справедливо только при $x > 0$. Корректное тождество, верное для всей области определения функции $y = \log_2 x^2$, выглядит так: $\log_2 x^2 = 2\log_2 |x|$. Таким образом, функция $y = \log_2 x^2$ совпадает с функцией $y = 2\log_2 x$ только на множестве положительных чисел. Например, при $x = -2$ значение второй функции $y = \log_2 ((-2)^2) = \log_2 4 = 2$, в то время как первая функция $y=2\log_2 x$ при $x=-2$ не определена.

Ответ: Нет, функции не равносильны, так как их области определения не совпадают.