Номер 6.87, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.87. Постройте график функции и определите множество ее значений:

1) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x+1) - 2;$

2) $y = \log_{2}(x-3) + 4.$

График данной функции можно получить из графика базовой логарифмической функции $y_0 = \log_{\frac{1}{2}}(x)$ с помощью последовательных геометрических преобразований.

1. Построим график функции $y_0 = \log_{\frac{1}{2}}(x)$. Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, функция является убывающей. Ее график проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x = 0$.

2. Сдвинем график $y_0$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox, чтобы получить график функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}}(x+1)$. Вертикальная асимптота сместится и станет прямой $x = -1$.

3. Сдвинем график $y_1$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy, чтобы получить искомый график $y = \log_{\frac{1}{2}}(x+1) - 2$.

Область определения функции задается условием положительности аргумента логарифма: $x+1 > 0$, что эквивалентно $x > -1$. Таким образом, область определения $D(y) = (-1; +\infty)$.

Для более точного построения графика найдем несколько ключевых точек:

- Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$: $y = \log_{\frac{1}{2}}(0+1) - 2 = \log_{\frac{1}{2}}(1) - 2 = 0 - 2 = -2$. Точка пересечения с осью Oy: $(0; -2)$.

- Найдем точку пересечения с осью Ox, решив уравнение $y=0$: $0 = \log_{\frac{1}{2}}(x+1) - 2 \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}}(x+1) = 2$. По определению логарифма: $x+1 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. $x = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$. Точка пересечения с осью Ox: $(-\frac{3}{4}; 0)$.

- Найдем еще одну точку для точности. Пусть $x=1$: $y = \log_{\frac{1}{2}}(1+1) - 2 = \log_{\frac{1}{2}}(2) - 2 = -1 - 2 = -3$. Дополнительная точка: $(1; -3)$.

График представляет собой убывающую логарифмическую кривую, которая проходит через вычисленные точки и асимптотически приближается к вертикальной прямой $x=-1$ при $x \to -1^+$.

Множество значений любой логарифмической функции вида $y = \log_a(f(x)) + C$ — это множество всех действительных чисел. Вертикальные и горизонтальные сдвиги не изменяют множество значений. Таким образом, множество значений данной функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: множество значений функции — $(-\infty; +\infty)$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y_0 = \log_{2}(x)$ путем преобразований.

1. График функции $y_0 = \log_{2}(x)$ является возрастающей кривой, поскольку основание логарифма $a = 2 > 1$. График проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x = 0$.

2. Сдвигаем график $y_0$ на 3 единицы вправо по оси Ox, чтобы получить график $y_1 = \log_{2}(x-3)$. Новая вертикальная асимптота — прямая $x = 3$.

3. Сдвигаем график $y_1$ на 4 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = \log_{2}(x-3) + 4$.

Область определения функции находится из условия $x-3 > 0$, откуда $x > 3$. Таким образом, область определения $D(y) = (3; +\infty)$.

Найдем координаты нескольких точек для построения графика:

- Выберем значение $\text{x}$ так, чтобы аргумент логарифма стал равен 1. Пусть $x=4$: $y = \log_{2}(4-3) + 4 = \log_{2}(1) + 4 = 0 + 4 = 4$. Получаем точку $(4; 4)$.

- Пусть $x=5$: $y = \log_{2}(5-3) + 4 = \log_{2}(2) + 4 = 1 + 4 = 5$. Получаем точку $(5; 5)$.

- Найдем точку пересечения с осью Ox ($y=0$): $0 = \log_{2}(x-3) + 4 \Rightarrow \log_{2}(x-3) = -4$. По определению логарифма: $x-3 = 2^{-4} = \frac{1}{16}$. $x = 3 + \frac{1}{16} = 3\frac{1}{16} = \frac{49}{16}$. Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{49}{16}; 0)$.

График представляет собой возрастающую логарифмическую кривую, которая проходит через вычисленные точки и асимптотически приближается к вертикальной прямой $x=3$ при $x \to 3^+$.

Как и в предыдущем случае, множество значений логарифмической функции не изменяется при сдвигах. Множеством значений является вся числовая прямая. Таким образом, множество значений данной функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: множество значений функции — $(-\infty; +\infty)$.