Номер 6.89, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.89. Постройте график функции и определите множество ее значений:

1) $y = \log_2(x - 1);$

2) $y = \log_2|x - 1|;$

3) $y = |\ln x|;$

4) $y = \ln |x|;$

5) $y = ||\ln x||;$

6) $y = \ln^2 x.$

1) График функции $y = \log_2(x-1)$ получается из графика функции $y = \log_2(x)$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Область определения функции задается условием $x-1 > 0$, то есть $x > 1$. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=1$. Базовый график $y=\log_2(x)$ принимает все действительные значения, и горизонтальный сдвиг не влияет на множество значений.

Ответ: множество значений функции — $(-\infty; +\infty)$.

2) График функции $y = \log_2|x-1|$. Область определения функции задается условием $|x-1| > 0$, что эквивалентно $x \neq 1$. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой. График является четной функцией относительно прямой $x=1$. Для $x > 1$ он совпадает с графиком $y = \log_2(x-1)$. Для $x < 1$ он является зеркальным отражением этого графика относительно прямой $x=1$. Аргумент логарифма $|x-1|$ принимает все положительные значения, поэтому сама функция принимает все действительные значения.

Ответ: множество значений функции — $(-\infty; +\infty)$.

3) График функции $y = \ln|x|$. Область определения: $|x| > 0$, то есть $x \neq 0$. Функция является четной, так как $\ln|-x| = \ln|x|$, поэтому ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x > 0$ график совпадает с графиком $y=\ln x$. Для $x < 0$ график получается отражением части для $x>0$ относительно оси Oy. Вертикальная асимптота — $x=0$. Так как $|x|$ может быть любым положительным числом, то $\ln|x|$ может быть любым действительным числом.

Ответ: множество значений функции — $(-\infty; +\infty)$.

4) График функции $y = |\ln x|$. Область определения та же, что и у $y = \ln x$, то есть $x > 0$. График строится из графика $y=\ln x$: часть графика, которая находится над осью Ox (где $\ln x \ge 0$, то есть при $x \ge 1$), остается без изменений; часть графика, которая находится под осью Ox (где $\ln x < 0$, то есть при $0 < x < 1$), отражается симметрично относительно оси Ox. Поскольку модуль любого числа неотрицателен, все значения функции будут больше или равны нулю.

Ответ: множество значений функции — $[0; +\infty)$.

5) График функции $y = |\ln|x||$. Это комбинация преобразований из пунктов 3 и 4. Сначала строится график $y = \ln|x|$ (симметричный относительно оси Oy). Затем, части этого графика, лежащие под осью Ox (на интервалах $(-1; 0)$ и $(0; 1)$), отражаются симметрично относительно оси Ox. Итоговый график симметричен относительно оси Oy, касается оси Ox в точках $x=-1$ и $x=1$. Значения функции неотрицательны.

Ответ: множество значений функции — $[0; +\infty)$.

6) График функции $y = \ln^2x$. Это то же самое, что и $y = (\ln x)^2$. Область определения: $x > 0$. Поскольку $\ln x$ возводится в квадрат, значения функции всегда неотрицательны ($y \ge 0$). Значение $y=0$ достигается при $\ln x = 0$, то есть при $x=1$. При $x \to 0^+$ и при $x \to +\infty$ значение $\ln x$ стремится к $-\infty$ и $+\infty$ соответственно, а его квадрат стремится к $+\infty$.

Ответ: множество значений функции — $[0; +\infty)$.