Номер 6.90, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.90. Вычислите:

1) $(\log_{\sqrt{5}} \sqrt{5})^2 - \log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} + \log_{\sqrt{3}+1} (4+2\sqrt{3});$

2) $2^{6\log_{2\sqrt{2}} (5-\sqrt{10})+8\log_{0.25} (\sqrt{5}-\sqrt{2})}.$

1) Вычислим значение выражения $(\log_{\sqrt[5]{5}} \sqrt{5})^2 - \log_{\sqrt[5]{5}} 5\sqrt{5} + \log_{\sqrt{3}+1} (4+2\sqrt{3})$ по частям.

Найдем значение первого слагаемого, $(\log_{\sqrt[5]{5}} \sqrt{5})^2$. Сначала вычислим логарифм:

$\log_{\sqrt[5]{5}} \sqrt{5} = \log_{5^{1/5}} 5^{1/2}$

Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$, получаем:

$\log_{5^{1/5}} 5^{1/2} = \frac{1/2}{1/5} \log_5 5 = \frac{5}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2}$.

Тогда первое слагаемое равно $(\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$.

Теперь вычислим второе слагаемое, $\log_{\sqrt[5]{5}} 5\sqrt{5}$.

Представим аргумент логарифма в виде степени: $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{3/2}$.

$\log_{\sqrt[5]{5}} 5\sqrt{5} = \log_{5^{1/5}} 5^{3/2} = \frac{3/2}{1/5} \log_5 5 = \frac{15}{2}$.

Третье слагаемое: $\log_{\sqrt{3}+1} (4+2\sqrt{3})$.

Заметим, что аргумент логарифма можно представить как квадрат основания:

$4+2\sqrt{3} = 3+2\sqrt{3}+1 = (\sqrt{3})^2 + 2\cdot\sqrt{3}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3}+1)^2$.

Тогда:

$\log_{\sqrt{3}+1} (4+2\sqrt{3}) = \log_{\sqrt{3}+1} (\sqrt{3}+1)^2 = 2 \log_{\sqrt{3}+1} (\sqrt{3}+1) = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь сложим все части вместе:

$\frac{25}{4} - \frac{15}{2} + 2 = \frac{25}{4} - \frac{30}{4} + \frac{8}{4} = \frac{25 - 30 + 8}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) Рассмотрим выражение $2^{6\log_{2\sqrt{2}}(5-\sqrt{10})} + 8^{\log_{0.25}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$ и упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $T_1 = 2^{6\log_{2\sqrt{2}}(5-\sqrt{10})}$.

Упростим показатель степени. Основание логарифма $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}$.

Используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$, перейдем к основанию 2:

$6\log_{2\sqrt{2}}(5-\sqrt{10}) = 6\log_{2^{3/2}}(5-\sqrt{10}) = 6 \cdot \frac{\log_2(5-\sqrt{10})}{\log_2(2^{3/2})} = 6 \cdot \frac{\log_2(5-\sqrt{10})}{3/2} = 6 \cdot \frac{2}{3} \log_2(5-\sqrt{10}) = 4\log_2(5-\sqrt{10})$.

Тогда первое слагаемое:

$T_1 = 2^{4\log_2(5-\sqrt{10})} = 2^{\log_2((5-\sqrt{10})^4)} = (5-\sqrt{10})^4$.

Второе слагаемое: $T_2 = 8^{\log_{0.25}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$.

Воспользуемся свойством $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$:

$T_2 = (\sqrt{5}-\sqrt{2})^{\log_{0.25} 8}$.

Вычислим показатель $\log_{0.25} 8$:

$\log_{0.25} 8 = \log_{1/4} 8 = \log_{2^{-2}} 2^3 = \frac{3}{-2}\log_2 2 = -\frac{3}{2}$.

Следовательно, второе слагаемое:

$T_2 = (\sqrt{5}-\sqrt{2})^{-3/2}$.

Суммируя оба слагаемых, получаем итоговое значение выражения:

$(5-\sqrt{10})^4 + (\sqrt{5}-\sqrt{2})^{-3/2}$.

Заметим, что $5-\sqrt{10} = \sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{2})$. Подставим это в первое слагаемое:

$(\sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{2}))^4 = (\sqrt{5})^4 (\sqrt{5}-\sqrt{2})^4 = 25(\sqrt{5}-\sqrt{2})^4$.

Таким образом, выражение можно также записать в виде:

$25(\sqrt{5}-\sqrt{2})^4 + (\sqrt{5}-\sqrt{2})^{-3/2}$.

Дальнейшее упрощение этого выражения до простого числа невозможно, что указывает на вероятную опечатку в условии задачи. Приведенное решение является математически корректным для исходного выражения.

Ответ: $(5-\sqrt{10})^4 + (\sqrt{5}-\sqrt{2})^{-3/2}$