Номер 6.92, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.92*. Известно, что $log_6 15 = a$, $log_{12} 18 = b$. Найдите $log_{25} 24$.

Для решения данной задачи необходимо выразить все логарифмы через логарифмы по одному основанию. В качестве такого основания удобно выбрать 2, так как числа 6, 12, 18, 24 содержат множитель 2. Будем использовать формулу перехода к новому основанию: $log_x(y) = \frac{log_c(y)}{log_c(x)}$.

Выразим данные в условии логарифмы через логарифмы по основанию 2:

$a = log_6(15) = \frac{log_2(15)}{log_2(6)} = \frac{log_2(3 \cdot 5)}{log_2(2 \cdot 3)} = \frac{log_2(3) + log_2(5)}{log_2(2) + log_2(3)} = \frac{log_2(3) + log_2(5)}{1 + log_2(3)}$

$b = log_{12}(18) = \frac{log_2(18)}{log_2(12)} = \frac{log_2(2 \cdot 3^2)}{log_2(2^2 \cdot 3)} = \frac{log_2(2) + 2log_2(3)}{2log_2(2) + log_2(3)} = \frac{1 + 2log_2(3)}{2 + log_2(3)}$

Теперь выразим искомый логарифм $log_{25}(24)$ через логарифмы по основанию 2:

$log_{25}(24) = \frac{log_2(24)}{log_2(25)} = \frac{log_2(2^3 \cdot 3)}{log_2(5^2)} = \frac{3log_2(2) + log_2(3)}{2log_2(5)} = \frac{3 + log_2(3)}{2log_2(5)}$

Наша задача — найти значения $log_2(3)$ и $log_2(5)$, выраженные через $\text{a}$ и $\text{b}$.

Из выражения для $\text{b}$ найдем $log_2(3)$:

$b = \frac{1 + 2log_2(3)}{2 + log_2(3)}$

$b(2 + log_2(3)) = 1 + 2log_2(3)$

$2b + b \cdot log_2(3) = 1 + 2log_2(3)$

$2b - 1 = 2log_2(3) - b \cdot log_2(3)$

$2b - 1 = (2 - b)log_2(3)$

$log_2(3) = \frac{2b - 1}{2 - b}$

Теперь, используя выражение для $\text{a}$ и найденное значение $log_2(3)$, найдем $log_2(5)$:

$a = \frac{log_2(3) + log_2(5)}{1 + log_2(3)}$

$a(1 + log_2(3)) = log_2(3) + log_2(5)$

$log_2(5) = a + a \cdot log_2(3) - log_2(3) = a + (a - 1)log_2(3)$

Подставим выражение для $log_2(3)$:

$log_2(5) = a + (a - 1)\frac{2b - 1}{2 - b} = \frac{a(2 - b) + (a - 1)(2b - 1)}{2 - b}$

$log_2(5) = \frac{2a - ab + 2ab - a - 2b + 1}{2 - b} = \frac{ab + a - 2b + 1}{2 - b}$

Теперь подставим полученные выражения для $log_2(3)$ и $log_2(5)$ в формулу для $log_{25}(24)$.

Найдем числитель искомой дроби: $3 + log_2(3)$

$3 + \frac{2b - 1}{2 - b} = \frac{3(2 - b) + (2b - 1)}{2 - b} = \frac{6 - 3b + 2b - 1}{2 - b} = \frac{5 - b}{2 - b}$

Найдем знаменатель искомой дроби: $2log_2(5)$

$2 \cdot \frac{ab + a - 2b + 1}{2 - b} = \frac{2(ab + a - 2b + 1)}{2 - b}$

Наконец, найдем значение $log_{25}(24)$:

$log_{25}(24) = \frac{\frac{5 - b}{2 - b}}{\frac{2(ab + a - 2b + 1)}{2 - b}} = \frac{5 - b}{2(ab + a - 2b + 1)}$

Ответ: $\frac{5 - b}{2(ab + a - 2b + 1)}$