Номер 6.91, страница 31, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.91. Сравните числа:

1) $2 \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5}$ и $3 \log_8 26$;

2) $2 \log_3 4$ и $3 \log_{27} 17$;

3) $\log_{135} 675$ и $\log_{45} 75$.

1) Сравним числа $2\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5}$ и $3\log_8 26$.

Преобразуем первое число, используя свойства логарифмов $k\log_a b = \log_a b^k$, $\log_{a^n} b = \frac{1}{n}\log_a b$ и $\log_{1/a} (1/b) = \log_a b$.

$2\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{5})^2 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{25}$.

Так как $\log_{1/a} (1/b) = \frac{\log_c(1/b)}{\log_c(1/a)} = \frac{-\log_c b}{-\log_c a} = \log_a b$, то $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{25} = \log_2 25$.

Теперь преобразуем второе число, приведя его к основанию 2:

$3\log_8 26 = 3\log_{2^3} 26 = 3 \cdot \frac{1}{3} \log_2 26 = \log_2 26$.

Теперь нам нужно сравнить $\log_2 25$ и $\log_2 26$.

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Поскольку $25 < 26$, то $\log_2 25 < \log_2 26$.

Следовательно, $2\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} < 3\log_8 26$.

Ответ: $2\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} < 3\log_8 26$.

2) Сравним числа $2\log_3 4$ и $3\log_{27} 17$.

Преобразуем первое число, используя свойство $k\log_a b = \log_a b^k$:

$2\log_3 4 = \log_3 4^2 = \log_3 16$.

Преобразуем второе число, приведя его к основанию 3:

$3\log_{27} 17 = 3\log_{3^3} 17 = 3 \cdot \frac{1}{3} \log_3 17 = \log_3 17$.

Теперь нам нужно сравнить $\log_3 16$ и $\log_3 17$.

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_3 x$ является возрастающей.

Поскольку $16 < 17$, то $\log_3 16 < \log_3 17$.

Следовательно, $2\log_3 4 < 3\log_{27} 17$.

Ответ: $2\log_3 4 < 3\log_{27} 17$.

3) Сравним числа $\log_{135} 675$ и $\log_{45} 75$.

Обозначим $A = \log_{135} 675$ и $B = \log_{45} 75$.

Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. В качестве нового основания $\text{c}$ выберем любое число больше 1 (например, 10 или $\text{e}$). Разложим числа под логарифмами и их основания на простые множители:

$135 = 3^3 \cdot 5$

$675 = 27 \cdot 25 = 3^3 \cdot 5^2$

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

$75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$

Теперь выразим $\text{A}$ и $\text{B}$ через логарифмы простых чисел (обозначим $\log$ как логарифм по основанию $\text{c}$):

$A = \log_{135} 675 = \frac{\log(3^3 \cdot 5^2)}{\log(3^3 \cdot 5)} = \frac{3\log 3 + 2\log 5}{3\log 3 + \log 5}$.

$B = \log_{45} 75 = \frac{\log(3 \cdot 5^2)}{\log(3^2 \cdot 5)} = \frac{\log 3 + 2\log 5}{2\log 3 + \log 5}$.

Чтобы сравнить эти два выражения, рассмотрим их разность $A - B$. Для удобства введем обозначения $x = \log 3$ и $y = \log 5$. Тогда:

$A = \frac{3x+2y}{3x+y}$ и $B = \frac{x+2y}{2x+y}$

$A - B = \frac{3x+2y}{3x+y} - \frac{x+2y}{2x+y}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$A - B = \frac{(3x+2y)(2x+y) - (x+2y)(3x+y)}{(3x+y)(2x+y)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(3x+2y)(2x+y) = 6x^2 + 3xy + 4xy + 2y^2 = 6x^2 + 7xy + 2y^2$

$(x+2y)(3x+y) = 3x^2 + xy + 6xy + 2y^2 = 3x^2 + 7xy + 2y^2$

Подставим обратно в числитель разности:

Числитель = $(6x^2 + 7xy + 2y^2) - (3x^2 + 7xy + 2y^2) = 3x^2$

Таким образом, $A - B = \frac{3x^2}{(3x+y)(2x+y)}$.

Так как $x = \log 3 > 0$ и $y = \log 5 > 0$, числитель $3x^2$ положителен. Знаменатель $(3x+y)(2x+y)$ также положителен как произведение положительных чисел. Следовательно, вся дробь положительна, то есть $A - B > 0$.

Из $A - B > 0$ следует, что $A > B$.

Ответ: $\log_{135} 675 > \log_{45} 75$.