Номер 6.84, страница 30, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.84. Какое из чисел больше:

1) $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3}$ или $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{2}$;

2) $\log_{5} 7$ или $3\log_{5} 2$;

3) $\log_{3} 15$ или $4\log_{3} 2$;

4) $\log_{\frac{1}{5}} 48$ или $2\log_{\frac{1}{5}} 7$?

1) Сравним числа $log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3}$ и $log_{\frac{1}{3}} \sqrt{2}$.

Сначала преобразуем каждое выражение, используя свойства логарифмов $log_{a^k} b = \frac{1}{k} log_a b$ и $log_a b^k = k log_a b$.

$log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3} = log_{2^{-1}} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{-1} log_2 3 = -\frac{1}{2} log_2 3$.

$log_{\frac{1}{3}} \sqrt{2} = log_{3^{-1}} 2^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{-1} log_3 2 = -\frac{1}{2} log_3 2$.

Теперь задача сводится к сравнению чисел $-\frac{1}{2} log_2 3$ и $-\frac{1}{2} log_3 2$. Для этого сначала сравним $log_2 3$ и $log_3 2$.

Так как основание $2 > 1$ и $3 > 2$, то $log_2 3 > log_2 2 = 1$.

Так как основание $3 > 1$ и $2 < 3$, то $log_3 2 < log_3 3 = 1$.

Отсюда следует, что $log_2 3 > 1$ и $log_3 2 < 1$, значит $log_2 3 > log_3 2$.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число $-\frac{1}{2}$ знак неравенства меняется на противоположный:

$-\frac{1}{2} log_2 3 < -\frac{1}{2} log_3 2$.

Следовательно, $log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3} < log_{\frac{1}{3}} \sqrt{2}$.

Ответ: $log_{\frac{1}{3}} \sqrt{2}$.

2) Сравним числа $log_5 7$ и $3log_5 2$.

Используем свойство логарифма $k log_a b = log_a b^k$, чтобы преобразовать второе выражение:

$3log_5 2 = log_5 (2^3) = log_5 8$.

Теперь необходимо сравнить $log_5 7$ и $log_5 8$.

Так как основание логарифма $a = 5 > 1$, логарифмическая функция $y = log_5 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Поскольку $8 > 7$, то $log_5 8 > log_5 7$.

Следовательно, $3log_5 2 > log_5 7$.

Ответ: $3log_5 2$.

3) Сравним числа $log_3 15$ и $4log_3 2$.

Преобразуем второе выражение по свойству $k log_a b = log_a b^k$:

$4log_3 2 = log_3 (2^4) = log_3 16$.

Теперь сравним $log_3 15$ и $log_3 16$.

Основание логарифма $a = 3 > 1$, поэтому логарифмическая функция $y = log_3 x$ является возрастающей. Значит, чем больше аргумент, тем больше значение логарифма.

Так как $16 > 15$, то $log_3 16 > log_3 15$.

Таким образом, $4log_3 2 > log_3 15$.

Ответ: $4log_3 2$.

4) Сравним числа $log_{\frac{1}{5}} 48$ и $2log_{\frac{1}{5}} 7$.

Преобразуем второе выражение, используя свойство $k log_a b = log_a b^k$:

$2log_{\frac{1}{5}} 7 = log_{\frac{1}{5}} (7^2) = log_{\frac{1}{5}} 49$.

Теперь сравним $log_{\frac{1}{5}} 48$ и $log_{\frac{1}{5}} 49$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{5}$, то есть $0 < a < 1$. В этом случае логарифмическая функция $y = log_{\frac{1}{5}} x$ является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Поскольку $49 > 48$, то $log_{\frac{1}{5}} 49 < log_{\frac{1}{5}} 48$.

Следовательно, $log_{\frac{1}{5}} 48 > 2log_{\frac{1}{5}} 7$.

Ответ: $log_{\frac{1}{5}} 48$.