Номер 6.78, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.78. Постройте график функции и проверьте результат с помощью графического онлайн-калькулятора:

1) $y = \log_3 x;$

2) $y = \log_{\frac{1}{3}} x;$

3) $y = \log_{\frac{1}{3}} (x - 1);$

4) $y = \log_{\frac{1}{2}} x - 1;$

5) $y = \log_4 (x + 3);$

6) $y = \log_4 x + 3.$

Для построения графиков логарифмических функций мы определим их ключевые свойства, такие как область определения, асимптоты, точки пересечения с осями и характер монотонности. Построение будем осуществлять по точкам или с помощью геометрических преобразований.

Это график основной логарифмической функции с основанием $a=3$.

1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть положительным, $x > 0$. $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Асимптота: Вертикальная асимптота $x = 0$ (ось Oy). При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$.

3. Монотонность: Так как основание $a=3 > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.

4. Ключевые точки:

- При $x = 1$, $y = \log_3 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ — пересечение с осью Ox.

- При $x = 3$, $y = \log_3 3 = 1$. Точка $(3, 1)$.

- При $x = 1/3$, $y = \log_3(1/3) = -1$. Точка $(1/3, -1)$.

Для построения графика наносим на координатную плоскость найденные точки, проводим через них плавную кривую, которая возрастает и приближается к оси Oy снизу.

Ответ: График функции $y = \log_3 x$ — это логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1/3, -1)$, $(1, 0)$ и $(3, 1)$, возрастающая на всей области определения $(0, +\infty)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

Это график основной логарифмической функции с основанием $a=1/3$.

1. Область определения: $x > 0$. $D(y) = (0; +\infty)$.

2. Асимптота: Вертикальная асимптота $x = 0$ (ось Oy). При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

3. Монотонность: Так как основание $a=1/3$, где $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.

4. Ключевые точки:

- При $x = 1$, $y = \log_{1/3} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ — пересечение с осью Ox.

- При $x = 3$, $y = \log_{1/3} 3 = -1$. Точка $(3, -1)$.

- При $x = 1/3$, $y = \log_{1/3}(1/3) = 1$. Точка $(1/3, 1)$.

График можно также получить, отразив график $y = \log_3 x$ симметрично относительно оси Ox, так как $\log_{1/a} x = -\log_a x$.

Ответ: График функции $y = \log_{1/3} x$ — это логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1/3, 1)$, $(1, 0)$ и $(3, -1)$, убывающая на всей области определения $(0, +\infty)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

Этот график можно получить из графика функции $y = \log_{1/3} x$ с помощью сдвига.

1. Преобразование: Замена $\text{x}$ на $(x-1)$ означает сдвиг графика базовой функции $y = \log_{1/3} x$ на 1 единицу вправо.

2. Область определения: $x - 1 > 0 \implies x > 1$. $D(y) = (1; +\infty)$.

3. Асимптота: Вертикальная асимптота также сдвигается на 1 вправо и становится $x = 1$. При $x \to 1^+$, $y \to +\infty$.

4. Ключевые точки: Получаем сдвигом точек графика $y = \log_{1/3} x$:

- Точка $(1, 0)$ сдвигается в $(1+1, 0) = (2, 0)$.

- Точка $(3, -1)$ сдвигается в $(3+1, -1) = (4, -1)$.

- Точка $(1/3, 1)$ сдвигается в $(1/3+1, 1) = (4/3, 1)$.

Для построения чертим асимптоту $x=1$, наносим новые точки и проводим через них убывающую кривую.

Ответ: График функции $y = \log_{1/3}(x-1)$ получен сдвигом графика $y = \log_{1/3} x$ на 1 единицу вправо. Он проходит через точки $(4/3, 1)$, $(2, 0)$, $(4, -1)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=1$.

Этот график можно получить из графика функции $y = \log_{1/2} x$ с помощью сдвига.

1. Преобразование: Вычитание 1 из функции означает сдвиг графика базовой функции $y = \log_{1/2} x$ на 1 единицу вниз.

2. Область определения: $x > 0$. $D(y) = (0; +\infty)$.

3. Асимптота: Вертикальный сдвиг не влияет на вертикальную асимптоту, она остается $x = 0$.

4. Ключевые точки: Базовая функция $y=\log_{1/2}x$ проходит через $(1, 0)$, $(2, -1)$, $(1/2, 1)$. Сдвигаем их на 1 вниз:

- Точка $(1, 0)$ сдвигается в $(1, 0-1) = (1, -1)$.

- Точка $(2, -1)$ сдвигается в $(2, -1-1) = (2, -2)$.

- Точка $(1/2, 1)$ сдвигается в $(1/2, 1-1) = (1/2, 0)$. Это точка пересечения с осью Ox.

Для построения сначала представляем график $y = \log_{1/2} x$ (убывающая кривая через $(1,0)$), а затем сдвигаем его целиком на 1 единицу вниз.

Ответ: График функции $y = \log_{1/2} x - 1$ получен сдвигом графика $y = \log_{1/2} x$ на 1 единицу вниз. Он проходит через точки $(1/2, 0)$, $(1, -1)$, $(2, -2)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Этот график можно получить из графика функции $y = \log_4 x$ с помощью сдвига.

1. Преобразование: Замена $\text{x}$ на $(x+3)$ означает сдвиг графика базовой функции $y = \log_4 x$ на 3 единицы влево.

2. Область определения: $x + 3 > 0 \implies x > -3$. $D(y) = (-3; +\infty)$.

3. Асимптота: Вертикальная асимптота также сдвигается на 3 влево и становится $x = -3$.

4. Ключевые точки: Базовая функция $y=\log_4 x$ (возрастающая) проходит через $(1, 0)$, $(4, 1)$. Сдвигаем их на 3 влево:

- Точка $(1, 0)$ сдвигается в $(1-3, 0) = (-2, 0)$. Это точка пересечения с осью Ox.

- Точка $(4, 1)$ сдвигается в $(4-3, 1) = (1, 1)$.

- Пересечение с осью Oy: $x=0 \implies y=\log_4(0+3)=\log_4 3$. Точка $(0, \log_4 3)$, где $\log_4 3 \approx 0.79$.

Для построения чертим асимптоту $x=-3$, наносим новые точки и проводим через них возрастающую кривую.

Ответ: График функции $y = \log_4(x+3)$ получен сдвигом графика $y = \log_4 x$ на 3 единицы влево. Он проходит через точки $(-2, 0)$, $(1, 1)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=-3$.

Этот график можно получить из графика функции $y = \log_4 x$ с помощью сдвига.

1. Преобразование: Прибавление 3 к функции означает сдвиг графика базовой функции $y = \log_4 x$ на 3 единицы вверх.

2. Область определения: $x > 0$. $D(y) = (0; +\infty)$.

3. Асимптота: Вертикальный сдвиг не влияет на вертикальную асимптоту, она остается $x = 0$.

4. Ключевые точки: Базовая функция $y=\log_4 x$ проходит через $(1, 0)$, $(4, 1)$. Сдвигаем их на 3 вверх:

- Точка $(1, 0)$ сдвигается в $(1, 0+3) = (1, 3)$.

- Точка $(4, 1)$ сдвигается в $(4, 1+3) = (4, 4)$.

- Пересечение с осью Ox: $y=0 \implies \log_4 x + 3 = 0 \implies \log_4 x = -3 \implies x = 4^{-3} = 1/64$. Точка $(1/64, 0)$.

Для построения сначала представляем график $y = \log_4 x$ (возрастающая кривая через $(1,0)$), а затем сдвигаем его целиком на 3 единицы вверх.

Ответ: График функции $y = \log_4 x + 3$ получен сдвигом графика $y = \log_4 x$ на 3 единицы вверх. Он проходит через точки $(1/64, 0)$, $(1, 3)$, $(4, 4)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Проверить правильность построения каждого графика можно, введя соответствующую формулу в любой графический онлайн-калькулятор.