Номер 6.77, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.77. С помощью графического онлайн-калькулятора постройте графики следующих функций на одной координатной плоскости. На основе построенных графиков сформулируйте вывод.

1) $y = \lg x$ и $y = \lg(x + 2)$;

2) $y = \lg x$ и $y = \lg(-x)$;

3) $y = \lg x$, $y = \log_2 x$ и $y = \log_4 x$;

4) $y = \log_5 x$ и $y = -\log_5 x$.

1) Построив на одной координатной плоскости графики функций $y = \lg x$ и $y = \lg(x + 2)$, мы видим, что график функции $y = \lg(x + 2)$ является точной копией графика $y = \lg x$, но сдвинутой влево на 2 единицы по оси Ox. Вертикальная асимптота для $y = \lg x$ — это ось Oy (прямая $x=0$), а для $y = \lg(x + 2)$ — прямая $x=-2$. Это соответствует сдвигу на 2 единицы влево.

Ответ: График функции $y = f(x+a)$ можно получить из графика функции $y=f(x)$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс на $|a|$ единиц. Если $a>0$, сдвиг происходит влево; если $a<0$, сдвиг происходит вправо.

2) Построив графики функций $y = \lg x$ и $y = \lg(-x)$, можно наблюдать, что они симметричны друг другу относительно оси Oy. Область определения функции $y = \lg x$ — это все положительные числа ($x>0$), а область определения функции $y = \lg(-x)$ — все отрицательные числа ($-x>0$, то есть $x<0$).

Ответ: График функции $y = f(-x)$ можно получить из графика функции $y=f(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси ординат (оси Oy).

3) Построим графики функций $y = \lg x$ (то есть $y = \log_{10} x$), $y = \log_2 x$ и $y = \log_4 x$. Все три графика проходят через точку $(1, 0)$, поскольку логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Так как основания $10, 2, 4$ больше 1, все три функции являются возрастающими. При $x > 1$ график с большим основанием ($y=\log_{10} x$) расположен ниже, чем графики с меньшими основаниями ($y=\log_4 x$ и $y=\log_2 x$). При $0 < x < 1$ ситуация обратная: график с большим основанием лежит выше.

Ответ: Графики всех логарифмических функций $y = \log_a x$ с основанием $a > 1$ проходят через точку $(1, 0)$ и являются возрастающими. Чем больше значение основания $\text{a}$, тем "медленнее" растет функция при $x>1$ (график более пологий и "прижат" к оси Ox).

4) При построении графиков функций $y = \log_3 x$ и $y = -\log_3 x$ видно, что они симметричны друг другу относительно оси Ox. Обе функции определены для $x>0$ и проходят через точку $(1, 0)$. Функция $y = \log_3 x$ является возрастающей, а функция $y = -\log_3 x$ — убывающей.

Ответ: График функции $y = -f(x)$ можно получить из графика функции $y=f(x)$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox).