Вопросы, страница 28, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какая функция называется логарифмической?

2. Почему областью определения логарифмической функции является множество $ (0;+\infty) $, а областью ее значений – множество $ (-\infty; +\infty) $?

3. Докажите, что логарифмическая функция является возрастающей, если $ a > 1 $, и убывающей, если $ 0 < a < 1 $.

4. Докажите, что графики функций $ y = \log_a x $ и $ y = a^x $ симметричны относительно прямой $ y = x $.

5. На одной координатной плоскости постройте графики следующих функций (с помощью графического онлайн-калькулятора или схематически):

1) $ y=\log_2 x $ и $ y=\log_{10} x $;

2) $ y=\log_{0,1} x $ и $ y=\log_{\frac{1}{2}} x $;

3) $ y=\log_2 x $ и $ y=2^x $;

4) $ y=\log_{\frac{1}{2}} x $ и $ y=\left(\frac{1}{2}\right)^x $.

1. Логарифмической функцией называется функция вида $y = \log_a x$, где $\text{a}$ – основание логарифма, являющееся заданным положительным числом, не равным 1 ($a > 0$, $a \neq 1$).

Ответ: Функция вида $y = \log_a x$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, называется логарифмической.

2. Область определения и область значений логарифмической функции $y = \log_a x$ напрямую следуют из определения логарифма. Выражение $\log_a x$ – это показатель степени $\text{y}$, в которую нужно возвести основание $\text{a}$, чтобы получить число $\text{x}$. То есть, $y = \log_a x$ эквивалентно $a^y = x$.

Область определения (множество допустимых значений $\text{x}$):

Показательная функция $a^y$ (при $a > 0$, $a \neq 1$) принимает только положительные значения, независимо от значения $\text{y}$. Так как $x = a^y$, то $\text{x}$ всегда должен быть строго больше нуля ($x > 0$). Следовательно, областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел, то есть интервал $(0; +\infty)$.

Область значений (множество допустимых значений $\text{y}$):

В равенстве $a^y = x$ показатель степени $\text{y}$ может быть любым действительным числом. Для любого действительного числа $\text{y}$ из интервала $(-\infty; +\infty)$ мы можем вычислить значение $a^y$, которое будет положительным числом $\text{x}$. Это означает, что логарифм $y = \log_a x$ может принимать любое действительное значение. Следовательно, областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел, то есть интервал $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (0; +\infty)$, так как логарифм определен только для положительных чисел (исходя из $x=a^y > 0$). Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$, так как показатель степени $\text{y}$ в выражении $a^y = x$ может быть любым действительным числом.

3. Для доказательства рассмотрим функцию $f(x) = \log_a x$ и выберем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения так, что $0 < x_1 < x_2$. Обозначим $y_1 = \log_a x_1$ и $y_2 = \log_a x_2$. По определению логарифма, это эквивалентно равенствам $x_1 = a^{y_1}$ и $x_2 = a^{y_2}$.

Поскольку $x_1 < x_2$, то $a^{y_1} < a^{y_2}$.

Рассмотрим два случая для основания $\text{a}$:

Случай 1: $a > 1$.

Показательная функция $y = a^t$ с основанием $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Из неравенства $a^{y_1} < a^{y_2}$ следует, что $y_1 < y_2$.

Таким образом, из $x_1 < x_2$ следует $\log_a x_1 < \log_a x_2$. Это по определению означает, что логарифмическая функция $y = \log_a x$ при $a > 1$ является возрастающей.

Случай 2: $0 < a < 1$.

Показательная функция $y = a^t$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Из неравенства $a^{y_1} < a^{y_2}$ следует, что $y_1 > y_2$.

Таким образом, из $x_1 < x_2$ следует $\log_a x_1 > \log_a x_2$. Это по определению означает, что логарифмическая функция $y = \log_a x$ при $0 < a < 1$ является убывающей.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойстве монотонности показательной функции $y=a^x$, которая является обратной к логарифмической. Если $a > 1$, показательная функция возрастает, что влечет возрастание логарифмической. Если $0 < a < 1$, показательная функция убывает, что влечет убывание логарифмической.

4. Чтобы доказать, что графики функций $y = \log_a x$ и $y = a^x$ симметричны относительно прямой $y=x$, достаточно показать, что эти функции являются взаимно обратными. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Пусть дана функция $f(x) = a^x$. Найдем обратную для нее функцию. Для этого:

1. Заменим $f(x)$ на $\text{y}$: $y = a^x$.

2. Поменяем местами переменные $\text{x}$ и $\text{y}$: $x = a^y$.

3. Выразим $\text{y}$ через $\text{x}$ из полученного уравнения. По определению логарифма, если $x = a^y$, то $y = \log_a x$.

Полученная функция $y = \log_a x$ и является обратной к $y = a^x$. Так как функции являются взаимно обратными, их графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Функции $y = \log_a x$ и $y = a^x$ являются взаимно обратными, а графики взаимно обратных функций по свойству симметричны относительно прямой $y=x$.

5.

1. $y = \log_2 x$ и $y = \log_{10} x$

   Оба графика представляют собой возрастающие кривые. Оба проходят через точку $(1, 0)$, так как $\log_a 1 = 0$ для любого $\text{a}$. Оба имеют вертикальную асимптоту $x=0$. При $x > 1$ график $y = \log_2 x$ лежит выше графика $y = \log_{10} x$, так как основание $\text{2}$ меньше $10$, и логарифм растет быстрее. При $0 < x < 1$ оба графика находятся ниже оси абсцисс, при этом график $y = \log_2 x$ лежит ниже графика $y = \log_{10} x$.

   Ответ: Схематически, графики — возрастающие кривые, проходящие через $(1, 0)$ и асимптотически приближающиеся к оси $\text{y}$ при $x \to 0+$. График $y=\log_2 x$ более "крутой", чем график $y=\log_{10} x$.

2. $y = \log_{1/3} x$ и $y = \log_{0.1} x$

   Оба графика представляют собой убывающие кривые, так как основания ($1/3 \approx 0.333$ и $0.1$) меньше 1. Оба проходят через точку $(1, 0)$. Оба имеют вертикальную асимптоту $x=0$. При $x > 1$ оба графика находятся ниже оси абсцисс. Так как $0.1 < 1/3$, график $y = \log_{0.1} x$ убывает "медленнее" и лежит выше графика $y = \log_{1/3} x$. При $0 < x < 1$ оба графика находятся выше оси абсцисс, и график $y = \log_{0.1} x$ лежит ниже графика $y = \log_{1/3} x$.

   Ответ: Схематически, графики — убывающие кривые, проходящие через $(1, 0)$ и асимптотически приближающиеся к оси $\text{y}$ при $x \to 0+$. График $y=\log_{1/3} x$ более "крутой", чем график $y=\log_{0.1} x$.

3. $y = \log_2 x$ и $y = 2^x$

   График $y = \log_2 x$ — возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точку $(1, 0)$ с областью определения $(0; +\infty)$. График $y = 2^x$ — возрастающая показательная кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ с областью определения $(-\infty; +\infty)$. Эти функции являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$. Графики не пересекаются.

   Ответ: Графики функций $y = \log_2 x$ и $y = 2^x$ симметричны относительно прямой $y=x$ и не пересекаются.

4. $y = \log_{1/2} x$ и $y = (1/2)^x$

   График $y = \log_{1/2} x$ — убывающая логарифмическая кривая, проходящая через точку $(1, 0)$ с областью определения $(0; +\infty)$. График $y = (1/2)^x$ — убывающая показательная кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ с областью определения $(-\infty; +\infty)$. Эти функции являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y=x$. В отличие от предыдущего случая, эти графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой лежит в интервале $(0, 1)$.

   Ответ: Графики функций $y = \log_{1/2} x$ и $y = (1/2)^x$ симметричны относительно прямой $y=x$ и пересекаются в одной точке.