Номер 6.74, страница 29, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.74. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_3(x-1)^2;$

2) $y = \log_2^2(x-1);$

3) $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{x-1}{2x+3};$

4) $y = \log_3(x^2 + 2x - 3).$

1) Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $f(x) > 0$. Для функции $y = \log_3(x-1)^2$ аргументом является выражение $(x-1)^2$. Следовательно, для нахождения области определения необходимо решить неравенство: $(x-1)^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$. Неравенство будет строгим, если $(x-1)^2 \neq 0$. Найдем значение $\text{x}$, при котором выражение равно нулю: $(x-1)^2 = 0$ $x-1 = 0$ $x = 1$. Таким образом, область определения функции включает все действительные числа, за исключением $x=1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) Функция $y = \log_2^2(x-1)$ представляет собой квадрат логарифмической функции, то есть $y = (\log_2(x-1))^2$. Область определения этой функции совпадает с областью определения внутренней функции $g(x) = \log_2(x-1)$, так как возведение в квадрат не накладывает дополнительных ограничений на $\text{x}$. Аргумент логарифма $\log_2(x-1)$ должен быть строго положительным: $x-1 > 0$. Решая это линейное неравенство, получаем: $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

3) Для функции $y = \log_{\frac{1}{2}}\frac{x-1}{2x+3}$ необходимо, чтобы ее аргумент был строго больше нуля: $\frac{x-1}{2x+3} > 0$. Для решения этого дробно-рационального неравенства применим метод интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: Нуль числителя: $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Нуль знаменателя: $2x+3 = 0 \Rightarrow x = -1.5$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1.5)$, $(-1.5; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак дроби в каждом из интервалов, подставив в выражение пробную точку: - На интервале $(-\infty; -1.5)$, например при $x=-2$, получаем $\frac{-2-1}{2(-2)+3} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0$. - На интервале $(-1.5; 1)$, например при $x=0$, получаем $\frac{0-1}{2(0)+3} = -\frac{1}{3} < 0$. - На интервале $(1; +\infty)$, например при $x=2$, получаем $\frac{2-1}{2(2)+3} = \frac{1}{7} > 0$. Неравенство $\frac{x-1}{2x+3} > 0$ выполняется там, где дробь положительна.

Ответ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup (1; +\infty)$.

4) Областью определения функции $y = \log_8(x^2 + 2x - 3)$ является множество всех значений $\text{x}$, для которых аргумент логарифма положителен: $x^2 + 2x - 3 > 0$. Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Отсюда $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Неравенство можно переписать в виде $(x+3)(x-1) > 0$. Графиком функции $f(x) = x^2 + 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства — это $x < -3$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.