Номер 6.70, страница 24, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.70. Покажите, что прямая $x + 7y = 50$ касается окружности $x^2 + y^2 = 50$, и найдите координаты точки касания.

Для того чтобы показать, что прямая касается окружности, нужно доказать, что система уравнений, состоящая из уравнения прямой и уравнения окружности, имеет единственное решение. Это решение и будет координатами точки касания.

Даны уравнения:

Прямая: $x + 7y = 50$

Окружность: $x^2 + y^2 = 50$

Выразим $\text{x}$ из уравнения прямой:

$x = 50 - 7y$

Теперь подставим это выражение для $\text{x}$ в уравнение окружности:

$(50 - 7y)^2 + y^2 = 50$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$50^2 - 2 \cdot 50 \cdot 7y + (7y)^2 + y^2 = 50$

$2500 - 700y + 49y^2 + y^2 = 50$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\text{y}$:

$50y^2 - 700y + 2500 - 50 = 0$

$50y^2 - 700y + 2450 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 50:

$y^2 - 14y + 49 = 0$

Полученное уравнение является полным квадратом:

$(y - 7)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень:

$y - 7 = 0 \implies y = 7$

Поскольку мы получили единственное значение для $\text{y}$, это означает, что система уравнений имеет единственное решение, и, следовательно, прямая касается окружности в одной точке.

Теперь найдем соответствующее значение $\text{x}$, подставив $y = 7$ в выражение для $\text{x}$:

$x = 50 - 7y = 50 - 7 \cdot 7 = 50 - 49 = 1$

Таким образом, координаты точки касания — $(1, 7)$.

Ответ: Координаты точки касания (1, 7). Тот факт, что система уравнений прямой и окружности имеет единственное решение, доказывает, что прямая касается окружности.