Номер 6.63, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.63*. Докажите тождество:

1) $\frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_{a^2} x} + \dots + \frac{1}{\log_{a^n} x} = \frac{n(n+1)}{2\log_a x};$

2) $\log_{abc} x = \frac{1}{\frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_b x} + \frac{1}{\log_c x}}$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Основная идея заключается в том, чтобы привести все логарифмы к одному основанию. Удобнее всего будет использовать основание $\text{x}$.

Левая часть равенства: $L = \frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_{a^2} x} + \dots + \frac{1}{\log_{a^n} x}$.

Воспользуемся свойством логарифма $\frac{1}{\log_b c} = \log_c b$ для каждого слагаемого в сумме. Это позволит нам поменять местами основание и аргумент логарифма.

$L = \log_x a + \log_x (a^2) + \dots + \log_x (a^n)$.

Далее применим свойство логарифма степени $\log_c (b^k) = k \log_c b$:

$L = 1 \cdot \log_x a + 2 \cdot \log_x a + \dots + n \cdot \log_x a$.

Вынесем общий множитель $\log_x a$ за скобки:

$L = (1 + 2 + \dots + n) \log_x a$.

Сумма в скобках представляет собой сумму первых $\text{n}$ натуральных чисел, которая является арифметической прогрессией и вычисляется по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Подставим значение этой суммы в наше выражение:

$L = \frac{n(n+1)}{2} \log_x a$.

Чтобы привести выражение к виду правой части исходного тождества, снова воспользуемся формулой перехода к другому основанию, но в обратном виде: $\log_c b = \frac{1}{\log_b c}$.

$L = \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{1}{\log_a x} = \frac{n(n+1)}{2\log_a x}$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества и получили в точности его правую часть. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства этого тождества мы преобразуем его правую часть и покажем, что она равна левой.

Правая часть равенства: $R = \frac{1}{\frac{1}{\log_a x} + \frac{1}{\log_b x} + \frac{1}{\log_c x}}$.

Рассмотрим знаменатель этой дроби. Используя свойство $\frac{1}{\log_k m} = \log_m k$, преобразуем каждое слагаемое в знаменателе:

$\frac{1}{\log_a x} = \log_x a$,

$\frac{1}{\log_b x} = \log_x b$,

$\frac{1}{\log_c x} = \log_x c$.

Подставим эти выражения обратно в знаменатель правой части:

$R = \frac{1}{\log_x a + \log_x b + \log_x c}$.

Теперь воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_m p + \log_m q = \log_m(pq)$. Для трех слагаемых это свойство выглядит так: $\log_x a + \log_x b + \log_x c = \log_x(abc)$.

Наше выражение принимает вид:

$R = \frac{1}{\log_x(abc)}$.

На последнем шаге снова применим свойство $\frac{1}{\log_m k} = \log_k m$ ко всему выражению:

$R = \log_{abc} x$.

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.