Номер 6.59, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.59. Известно, что $b = \log_c 0.25 + 3\log_u 4$, $u = 27$, $c = \frac{1}{9}$. Найдите $3^b$.

Для нахождения значения выражения $3^b$ сначала вычислим значение $\text{b}$. Дано выражение $b = \log_c 0,25 + 3\log_u 4$ и значения $u = 27$, $c = \frac{1}{9}$. Подставим значения $\text{c}$ и $\text{u}$ в формулу для $\text{b}$: $b = \log_{\frac{1}{9}} 0,25 + 3\log_{27} 4$. Теперь упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства логарифмов. Рассмотрим первое слагаемое: $\log_{\frac{1}{9}} 0,25$. Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней: $c = \frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$ и $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$. Тогда: $\log_{\frac{1}{9}} 0,25 = \log_{3^{-2}} 2^{-2}$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем: $\log_{3^{-2}} 2^{-2} = \frac{-2}{-2}\log_3 2 = 1 \cdot \log_3 2 = \log_3 2$. Рассмотрим второе слагаемое: $3\log_{27} 4$. Представим основание логарифма в виде степени: $u = 27 = 3^3$. Тогда: $3\log_{27} 4 = 3\log_{3^3} 4$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, получаем: $3\log_{3^3} 4 = 3 \cdot \frac{1}{3}\log_3 4 = \log_3 4$. Теперь, когда оба слагаемых упрощены, сложим их, чтобы найти $\text{b}$: $b = \log_3 2 + \log_3 4$. Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$: $b = \log_3(2 \cdot 4) = \log_3 8$. Наконец, найдем значение искомого выражения $3^b$: $3^b = 3^{\log_3 8}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a x} = x$, получаем: $3^{\log_3 8} = 8$. Ответ: 8.