Номер 6.55, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.55*. Покажите, что выполняется равенство $log_8 12 = log_8 8 \cdot log_8 5 \times log_8 4 + 1$.

6.55*. Чтобы доказать, что равенство $ \log_3{12} = \log_3{8} \cdot \log_8{5} \cdot \log_5{4} + 1 $ выполняется, преобразуем его правую часть.

Правая часть равенства имеет вид: $ \log_3{8} \cdot \log_8{5} \cdot \log_5{4} + 1 $.

Сначала упростим произведение логарифмов $ \log_3{8} \cdot \log_8{5} \cdot \log_5{4} $. Для этого воспользуемся свойством перехода к новому основанию, которое для цепочки логарифмов можно записать как $ \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c $.

Применим это свойство последовательно:

$ (\log_3{8} \cdot \log_8{5}) \cdot \log_5{4} = \log_3{5} \cdot \log_5{4} = \log_3{4} $.

Теперь подставим полученное значение $ \log_3{4} $ обратно в выражение для правой части:

$ \log_3{4} + 1 $.

Далее, представим единицу в виде логарифма по основанию 3, используя определение логарифма: $ 1 = \log_3{3} $.

Тогда выражение для правой части принимает вид:

$ \log_3{4} + \log_3{3} $.

Используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $ \log_a x + \log_a y = \log_a(xy) $, получаем:

$ \log_3{4} + \log_3{3} = \log_3(4 \cdot 3) = \log_3{12} $.

В результате преобразований мы получили, что правая часть исходного равенства равна $ \log_3{12} $, что в точности совпадает с левой частью. Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство доказано, так как правая часть $ \log_3{8} \cdot \log_8{5} \cdot \log_5{4} + 1 $ тождественно равна левой части $ \log_3{12} $.