Номер 6.50, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.50. Известно, что $\log_6 2 = m$. Найдите $\log_{24} 72$.

Для того чтобы выразить $log_{24} 72$ через $\text{m}$, где $log_6 2 = m$, необходимо привести логарифмы к одному основанию. Удобнее всего использовать основание 6, так как нам дано значение логарифма по этому основанию.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$.

Применим эту формулу к искомому логарифму, выбрав в качестве нового основания $c=6$:

$log_{24} 72 = \frac{log_6 72}{log_6 24}$

Теперь по отдельности преобразуем логарифмы в числителе и знаменателе, используя свойства логарифмов и данное условие $log_6 2 = m$.

Сначала преобразуем числитель. Представим число 72 в виде произведения множителей, содержащих основание 6 и число 2:

$72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$

Теперь найдем логарифм этого числа по основанию 6:

$log_6 72 = log_6 (6^2 \cdot 2)$

Используя свойство логарифма произведения ($log_a(xy) = log_a x + log_a y$) и свойство логарифма степени ($log_a(x^n) = n \cdot log_a x$), получаем:

$log_6(6^2 \cdot 2) = log_6(6^2) + log_6 2 = 2 \cdot log_6 6 + log_6 2$

Поскольку $log_6 6 = 1$ и по условию $log_6 2 = m$, выражение для числителя равно:

$2 \cdot 1 + m = 2+m$

Далее преобразуем знаменатель. Представим число 24 аналогичным образом:

$24 = 6 \cdot 4 = 6 \cdot 2^2$

Найдем логарифм этого числа по основанию 6:

$log_6 24 = log_6 (6 \cdot 2^2)$

Используя те же свойства логарифмов, получаем:

$log_6 (6 \cdot 2^2) = log_6 6 + log_6(2^2) = 1 + 2 \cdot log_6 2$

Подставляя $log_6 2 = m$, выражение для знаменателя равно:

$1 + 2m$

Наконец, подставим полученные выражения для числителя и знаменателя обратно в формулу:

$log_{24} 72 = \frac{log_6 72}{log_6 24} = \frac{2+m}{1+2m}$

Ответ: $\frac{2+m}{1+2m}$