Номер 6.51, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.51. Известно, что $ \log_{36} 8 = m $. Найдите $ \log_{36} 9 $.

6.51. По условию задачи дано, что $log_{36} 8 = m$. Необходимо найти значение $log_{36} 9$.

Для решения используем свойства логарифмов. Рассмотрим известное тождество $log_{36} 36 = 1$.

Представим число 36 в виде произведения $4 \times 9$. Тогда: $log_{36} (4 \cdot 9) = 1$.

Используя свойство логарифма произведения ($log_a(xy) = log_a x + log_a y$), мы можем переписать уравнение: $log_{36} 4 + log_{36} 9 = 1$.

Из этого уравнения выразим искомый логарифм $log_{36} 9$: $log_{36} 9 = 1 - log_{36} 4$.

Теперь наша задача — выразить $log_{36} 4$ через данную переменную $\text{m}$. Воспользуемся исходным равенством $log_{36} 8 = m$. Представим числа 8 и 4 как степени числа 2: $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$.

Применим свойство логарифма степени ($log_a(b^k) = k \cdot log_a b$) к данному выражению: $m = log_{36} 8 = log_{36}(2^3) = 3 \cdot log_{36} 2$.

Из этого соотношения выразим $log_{36} 2$: $log_{36} 2 = \frac{m}{3}$.

Теперь мы можем найти значение $log_{36} 4$: $log_{36} 4 = log_{36}(2^2) = 2 \cdot log_{36} 2$.

Подставим найденное выражение для $log_{36} 2$: $log_{36} 4 = 2 \cdot \left(\frac{m}{3}\right) = \frac{2m}{3}$.

Наконец, подставим значение $log_{36} 4$ в формулу для $log_{36} 9$: $log_{36} 9 = 1 - log_{36} 4 = 1 - \frac{2m}{3}$.

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем окончательный

Ответ: $log_{36} 9 = \frac{3}{3} - \frac{2m}{3} = \frac{3 - 2m}{3}$.

Ответ: $\frac{3 - 2m}{3}$.