Номер 6.52, страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.52*. Известно, что $ \log_{100} 3 = m $ и $ \log_{100} 2 = n $. Найдите $ \log_5 6 $.

Для того чтобы найти $log_5 6$, имея значения логарифмов по основанию 100, воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$. В качестве нового основания $\text{c}$ выберем 100.

$log_5 6 = \frac{log_{100} 6}{log_{100} 5}$

Теперь необходимо выразить числитель и знаменатель полученной дроби через данные $\text{m}$ и $\text{n}$.

1. Выразим числитель $log_{100} 6$. Используя свойство логарифма произведения ($log_a(xy) = log_a x + log_a y$), представим $\text{6}$ как $2 \cdot 3$:

$log_{100} 6 = log_{100} (2 \cdot 3) = log_{100} 2 + log_{100} 3$

Согласно условию, $log_{100} 3 = m$ и $log_{100} 2 = n$. Подставим эти значения:

$log_{100} 6 = n + m$

2. Выразим знаменатель $log_{100} 5$. Для этого воспользуемся основным логарифмическим тождеством $log_a a = 1$, то есть $log_{100} 100 = 1$. Представим число 100 как $2^2 \cdot 5^2$:

$1 = log_{100} 100 = log_{100} (2^2 \cdot 5^2)$

Применим свойства логарифма произведения и логарифма степени ($log_a (x^k) = k \cdot log_a x$):

$1 = log_{100} (2^2) + log_{100} (5^2) = 2 \cdot log_{100} 2 + 2 \cdot log_{100} 5$

Подставим известное значение $log_{100} 2 = n$:

$1 = 2n + 2 \cdot log_{100} 5$

Выразим из этого уравнения $log_{100} 5$:

$2 \cdot log_{100} 5 = 1 - 2n$

$log_{100} 5 = \frac{1 - 2n}{2}$

3. Теперь подставим найденные выражения для числителя и знаменателя в исходную формулу:

$log_5 6 = \frac{log_{100} 6}{log_{100} 5} = \frac{m + n}{\frac{1 - 2n}{2}}$

Упростим полученное выражение:

$log_5 6 = (m + n) \cdot \frac{2}{1 - 2n} = \frac{2(m + n)}{1 - 2n}$

Ответ: $\frac{2(m+n)}{1-2n}$