Номер 6.56, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.56. Упростите выражение:

1) $ \left(b^{\frac{\log_{100}a}{\lg a}} \cdot a^{\frac{\log_{100}b}{\lg b}}\right)^{2\log_{ab}(a+b)} $;

2) $\sqrt{a^{1+\frac{1}{2\log_{a^4}a}} + 8^{\frac{1}{3\log_{a^2}2}}+1}$.

1)

Для начала упростим показатели степеней внутри скобок, используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_c x = \frac{\log_d x}{\log_d c}$ и то, что $\lg x = \log_{10} x$.

Рассмотрим первый показатель степени: $\frac{\log_{100}a}{\lg a}$.

$\log_{100}a = \frac{\lg a}{\lg 100} = \frac{\lg a}{\lg 10^2} = \frac{\lg a}{2}$.

Тогда весь показатель равен: $\frac{\frac{\lg a}{2}}{\lg a} = \frac{1}{2}$.

Аналогично упростим второй показатель степени: $\frac{\log_{100}b}{\lg b}$.

$\log_{100}b = \frac{\lg b}{\lg 100} = \frac{\lg b}{2}$.

Тогда весь показатель равен: $\frac{\frac{\lg b}{2}}{\lg b} = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим упрощенные показатели в исходное выражение:

$\left(b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}\right)^{2\log_{ab}(a+b)} = \left((ab)^{\frac{1}{2}}\right)^{2\log_{ab}(a+b)}$

По свойству степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, перемножим показатели:

$(ab)^{\frac{1}{2} \cdot 2\log_{ab}(a+b)} = (ab)^{\log_{ab}(a+b)}$

Используя основное логарифмическое тождество $c^{\log_c x} = x$, получаем:

$(ab)^{\log_{ab}(a+b)} = a+b$

Ответ: $a+b$.

2)

Упростим выражение под корнем по частям. Начнем со второго слагаемого: $8^{\frac{1}{3\log_{a^2}2}}$.

Используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_x y} = \log_y x$:

$\frac{1}{3\log_{a^2}2} = \frac{1}{3} \cdot \log_2(a^2)$.

По свойству логарифма $\log_c(x^k) = k \log_c x$, получаем:

$\frac{1}{3} \cdot 2\log_2 a = \frac{2}{3}\log_2 a$.

Теперь подставим это в показатель степени с основанием 8, представив 8 как $2^3$:

$8^{\frac{2}{3}\log_2 a} = (2^3)^{\frac{2}{3}\log_2 a} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}\log_2 a} = 2^{2\log_2 a} = 2^{\log_2(a^2)}$.

По основному логарифмическому тождеству $c^{\log_c x} = x$, получаем: $2^{\log_2(a^2)} = a^2$.

Теперь упростим первое слагаемое: $a^{1+\frac{1}{2\log_b a}}$.

Рассмотрим показатель: $1+\frac{1}{2\log_b a} = 1 + \frac{1}{2}\log_a b = \log_a a + \log_a (b^{\frac{1}{2}}) = \log_a(a\sqrt{b})$.

Подставим в степень с основанием $\text{a}$:

$a^{\log_a(a\sqrt{b})} = a\sqrt{b}$.

Теперь соберем все части вместе под знаком корня:

$\sqrt{a\sqrt{b} + a^2 + 1} = \sqrt{a^2 + a\sqrt{b} + 1}$.

Выражение такого вида в задачах на упрощение, как правило, представляет собой полный квадрат. Для того чтобы $\sqrt{a^2 + a\sqrt{b} + 1}$ можно было упростить, подкоренное выражение должно быть равно $(a+1)^2 = a^2+2a+1$.

Сравнивая $\sqrt{a^2 + a\sqrt{b} + 1}$ и $\sqrt{a^2+2a+1}$, мы видим, что для их равенства необходимо выполнение условия $a\sqrt{b} = 2a$. Так как по определению логарифма $a > 0$, мы можем разделить обе части на $\text{a}$, получая $\sqrt{b}=2$, откуда $b=4$.

Вероятно, в условии задачи имеется опечатка, и имелось в виду, что $b=4$. При этом условии выражение упрощается:

$\sqrt{a^2 + 2a + 1} = \sqrt{(a+1)^2} = |a+1|$.

Поскольку $\text{a}$ является основанием и аргументом логарифма, $a>0$ и $a \neq 1$, следовательно $a+1 > 0$, и $|a+1| = a+1$.

Ответ: $a+1$ (при условии $b=4$).