Номер 6.61, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.61*. Разложите на множители выражение

$log_a A \cdot log_b A + log_b A \cdot log_c A + log_c A \cdot log_a A$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_x y = \frac{\log_k y}{\log_k x}$. В качестве нового основания $\text{k}$ удобно выбрать $\text{A}$, так как это позволит нам использовать свойство $\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$.

Обозначим исходное выражение как $\text{S}$:

$S = \log_a A \cdot \log_b A + \log_b A \cdot \log_c A + \log_c A \cdot \log_a A$

Применим формулу перехода к основанию $\text{A}$ для каждого логарифма в выражении:

$\log_a A = \frac{1}{\log_A a}$

$\log_b A = \frac{1}{\log_A b}$

$\log_c A = \frac{1}{\log_A c}$

Подставим эти преобразованные логарифмы обратно в исходное выражение:

$S = \frac{1}{\log_A a} \cdot \frac{1}{\log_A b} + \frac{1}{\log_A b} \cdot \frac{1}{\log_A c} + \frac{1}{\log_A c} \cdot \frac{1}{\log_A a}$

Упростим, перемножив дроби в каждом слагаемом:

$S = \frac{1}{\log_A a \cdot \log_A b} + \frac{1}{\log_A b \cdot \log_A c} + \frac{1}{\log_A c \cdot \log_A a}$

Теперь приведем все три слагаемых к общему знаменателю, который равен $\log_A a \cdot \log_A b \cdot \log_A c$:

$S = \frac{\log_A c + \log_A a + \log_A b}{\log_A a \cdot \log_A b \cdot \log_A c}$

В числителе мы получили сумму логарифмов с одинаковым основанием. Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $\log_k x + \log_k y = \log_k (xy)$.

$\log_A a + \log_A b + \log_A c = \log_A (abc)$

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для $\text{S}$:

$S = \frac{\log_A (abc)}{\log_A a \cdot \log_A b \cdot \log_A c}$

Чтобы представить это выражение как произведение, а не частное, мы можем переписать его, используя обратное свойство $\frac{1}{\log_y x} = \log_x y$:

$S = \log_A (abc) \cdot \frac{1}{\log_A a} \cdot \frac{1}{\log_A b} \cdot \frac{1}{\log_A c}$

$S = \log_A (abc) \cdot \log_a A \cdot \log_b A \cdot \log_c A$

Таким образом, исходная сумма разложена на произведение четырех множителей.

Ответ: $\log_a A \cdot \log_b A \cdot \log_c A \cdot \log_A (abc)$