Номер 6.60, страница 23, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.60. Пусть $1 < a < b$. Упростите выражение $\sqrt{\log_{b}^{4} a + \log_{a}^{4} b + 2} - 2$.

Для упрощения выражения $\sqrt{\log_b^4 a + \log_a^4 b + 2} - 2$ при условии $1 < a < b$, начнем с преобразования подкоренного выражения.

Рассмотрим выражение под корнем: $\log_b^4 a + \log_a^4 b + 2$. Воспользуемся свойством логарифмов: $\log_b a \cdot \log_a b = 1$. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Заметим, что $\log_b^4 a = (\log_b^2 a)^2$ и $\log_a^4 b = (\log_a^2 b)^2$. Тогда: $\log_b^4 a + \log_a^4 b + 2 = (\log_b^2 a)^2 + (\log_a^2 b)^2 + 2 \cdot 1$. Так как $1 = (\log_b a \cdot \log_a b)^2 = \log_b^2 a \cdot \log_a^2 b$, мы можем переписать выражение как: $(\log_b^2 a)^2 + 2 \cdot \log_b^2 a \cdot \log_a^2 b + (\log_a^2 b)^2$. Это формула квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$, где $A = \log_b^2 a$ и $B = \log_a^2 b$. Таким образом, подкоренное выражение равно $(\log_b^2 a + \log_a^2 b)^2$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение: $\sqrt{(\log_b^2 a + \log_a^2 b)^2} - 2$.

Согласно свойству $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $|\log_b^2 a + \log_a^2 b| - 2$.

Поскольку квадраты действительных чисел неотрицательны, $\log_b^2 a \ge 0$ и $\log_a^2 b \ge 0$. Их сумма $\log_b^2 a + \log_a^2 b$ также неотрицательна. Поэтому знак модуля можно опустить: $\log_b^2 a + \log_a^2 b - 2$.

Снова воспользуемся тождеством $\log_b a \cdot \log_a b = 1$ и представим $-2$ как $-2 \cdot \log_b a \cdot \log_a b$: $\log_b^2 a - 2 \cdot \log_b a \cdot \log_a b + \log_a^2 b$.

Полученное выражение является формулой квадрата разности $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$, где $A = \log_b a$ и $B = \log_a b$. Следовательно, итоговое выражение можно записать как $(\log_b a - \log_a b)^2$.

Ответ: $(\log_b a - \log_a b)^2$